완비성 공리

STATS·2023년 7월 21일

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상계, 하계

공집합이 아닌 실수의 부분집합 $A$ 에 대해

\exist s \in \R \ s.t \ \forall a \in A, a \le s

를 만족하는 실수 $s$ 를 $A$ 의 상계(Upper bound)라고 한다. 이 때 A는 위로 유계라고 한다.

\exist l \in \R \ s.t \ \forall a \in A, l \le a

를 만족하는 실수 $l$ 를 $A$ 의 하계(Upper bound)라고 한다. 이 때 A는 아래로 유계라고 한다.

공집합이 아닌 실수의 부분집합 $A$ 에 대해 다음 조건을 만족하는 실수 $M$ 이 존재한다면, M을 $A$ 의 상한(Supremum)이라고 한다.

\text{I) M은 A의 상계} \\ \text{II) A의 임의의 상계 b에 대해 }M \le b\text{를 만족}

반대로 아래와 같은 조건을 만족하는 실수 $m$ 이 존재한다면, m을 $A$ 의 하한(Infimum)이라고 한다.

\text{I) m은 A의 하계} \\ \text{II) A의 임의의 하계 c에 대해 } c \le m\text{을 만족}

만약 상한 M이 존재하고, $M \in A$ 이면 $M$ 을 $A$ 의 최대값이라고 한다.
반대로 하한 m이 존재하고 $m \in A$ 이면 $m$ 을 $A$ 의 최소값이라고 한다,

실수의 완비성 공리는 유리수와 실수의 차이점을 나타내는 실수의 특징을 담고 있다.
공리의 내용은 다음과 같다.

\text{공집합이 아닌 실수의 부분집합 A가 위로 유계이면 A는 상한을 가진다.}

즉 $A$ 의 상계가 하나 이상 존재한다면, 상계 중 가장 작은 값도 반드시 존재한다는 공리다.

s \in \R이 \ A \subset \R의 \ 상계일 \ 때,\\ s = supA \equiv \forall \epsilon > 0,\exist a \in A \ s.t\ s-\epsilon < a \\ {} \\ Proof) (\Rightarrow)\\ s=supA \Rightarrow s-\epsilon < s \Rightarrow s-\epsilon \text{ is not supremum} \Rightarrow \exist a \in A \ s.t \ s-\epsilon < a \\ {} \\ (\Leftarrow) \\ \forall \epsilon > 0,\exist a \in A \ s.t\ s-\epsilon < a \Rightarrow b = s-\epsilon \text{ can't be supremum of A for every }\epsilon \\ \Rightarrow \text{for every supremum of b, } s \le b \Rightarrow \text{s = supA}