카이제곱 분포, 베타 분포

카이제곱 분포

카이제곱 분포는 $\alpha = \frac{r}{2} \ (r \in \N), \ \beta = 2$인 경우의 감마 분포를 의미한다. 굳이 감마 분포의 특수한 경우에 이름까지 붙이는 이유는 모분산 추정, 독립성 검정 등 다양한 통계적 검정에서 활용되기 때문이다.

감마 분포 $\rightarrow$ 카이제곱 분포

$X \sim Gamma(\frac{r}{2}, \beta) \ (r \in \N, \ \beta > 0)$일 때, $Y = \frac{2X}{\beta}$는 감마 분포의 확률 변수를 양의 상수배한 새로운 확률 변수이므로 $Y \sim Gamma(\frac{r}{2}, 2) \equiv \chi^2(r)$이다.

독립인 카이제곱 확률 변수의 합의 분포

$X_i \sim \chi^2(r_i)$이고, 확률 변수들이 서로 독립이면, $Y = \sum_{i=1}^{n} X_i$도 카이 제곱 분포를 따른다.

베타 분포

감마 분포는 확률 변수가 서포트가 양의 실수 전체였다. 감마 분포와 비슷한 분포로 베타 분포가 있다. 베타 분포의 서포트는 $(0, 1)$인데, 이는 실수의 부분집합을 서포트로 가지는 확률 변수의 분포를 사용할 때 유용하다.

예를 들어 $X$의 서포트가 $(a, b) \ (-\infin < a < b < \infin)$이면, $Y = \frac{X - a}{b - a}$라는 min-max 정규화를 통해 서포트를 (0, 1)로 재구성할 수 있다. 이런 경우 베타 분포를 이용할 수 있게 된다.