감마 분포

감마 분포

감마 분포는 지수 분포와 비슷하게 대기 시간, 제품의 신뢰도 등의 확률 분포에 사용된다.
지수 분포가 첫번째 사건이 일어날 때까지의 시간에 대한 확률 분포라고 한다면, 감마 분포는 이를 확장하여 $\alpha$번째 사건이 일어날 때까지의 시간에 대한 확률 분포를 의미한다.
즉 지수 분포는 $\alpha = 1$일 때의 감마 분포와 동치이며, MGF로 증명할 수 있다.

또한 지수 분포를 가지며 독립적인 확률 변수를 여러 개 더한 새로운 확률 변수는 감마 분포를 따른다.

감마 함수

감마 분포를 논할 때 감마 함수라는 중요한 함수가 필요하다. 감마 함수는 다음과 같이 정의한다.

감마 분포의 성질들을 증명할 때, 자연 상수의 지수 부분을 치환하여 감마 함수의 꼴로 만들어 해결하는 경우가 많기 때문에, 감마 함수는 감마 분포를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

감마 분포의 성질

감마 분포의 PDF와 MGF는 다음과 같다.

모수 $\beta$가 동일한 감마 분포를 따르며, 독립인 두 확률 변수의 합은 또한 감마 분포를 따른다.

감마 분포를 따르는 확률 변수에 양의 상수배를 한 확률 변수도 감마 분포를 따른다.