파티션, 베이즈 정리

STATS·2023년 7월 23일

수리통계학

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표본공간 $\Omega$ , $\Omega$ 의 사건 $A_1, A_2, ..., A_k$ 가

\bigcap_{i=1}^k A_i = \empty, \ \bigcup_{i=1}^k A_i = \Omega

를 만족하면 $A_1, ...A_k$ 가 $\Omega$ 를 분할한다고 정의한다.

$\Omega$ 의 분할 $A_1, ..., A_k$ 와 임의의 사건 $B$ 가 있을 때,

B \equiv (B \cap A_1) \cup ... \cup(B \cap A_k), \ \bigcap_{i=1}^k B \cap A_k = \empty

를 만족한다. 즉 $B\cap A_1, ..., B \cap A_k$ 는 $B$ 의 분할이다.

따라서 파티션을 이용하면, 추상적인 사건을 다른 파티션을 이용해 구체적인 사건들의 조각의 합으로 바꿀 수 있다.

$\Omega$ 에 대해 사건 $A_k$ , $B$ 가 있고, 분할 $A_1, ..., A_n$ 이 있을 때,

P(A_k | B) = \frac{P(B \cap A_k)}{P(B)} = \frac{P(B \cap A_k}{\sum_{i=1}^n P(B \cap A_i)}= \frac{P(B|A_k)P(A_k)}{\sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)} \ (1 \le k \le n)

2023년 7월 23일

이런 유용한 정보를 나눠주셔서 감사합니다.

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