조건부확률의 정의

조건부확률(conditional probability)이란 어떤 사건 A가 일어 났을 때, 다른 사건 B가 일어날 확률을 의미합니다.

아래와 같은 예가 조건부확률에 해당합니다.

1. 주사위 하나를 던졌을 때 4 이상의 수가 나왔습니다. 그런데 이 수가 짝수일 확률은 얼마나 될까요?

2. 두두지가 아침으로 베이글을 먹었을 때, 점심으로 피자를 먹을 확률은 얼마나 될까요?

이런식으로 특정 조건 확률이 주어졌을 때 목표 확률을 조건부 확률이라고 합니다.

조건부확률의 개념

그림을 통해서 개념에 대해 설명해보겠습니다.

아래 그림에서 노란색 부분은 A사건을 의미합니다.

A사건의 확률은 전체 표본공간에서 A사건의 비율로 구할 수 있습니다.

그렇다면 우리가 알고자하는 조건부확률인 A가 일어났을 때 B가 일어날 확률은 어떻게 구할 수 있을까요?

여기서 주의해야할 점은 조건부확률은 표본공간이 변화한다는 것입니다. A사건의 확률은 표본공간이 전체였지만, A사건이 일어났을 때라는 조건에 의해 표본공간이 노란색 영역으로 바뀝니다.

그리고 A사건이 일어났을 때 B사건이 일어날 수 있는 경우는 A사건과 B 사건의 교집합인 경우입니다. 아래 그림에서 파란색 부분이죠.

그래서 구하고자하는 확률의 표본공간 대 사건의 비율 즉, 노란색 분의 파란색으로 조건부확률을 구할 수 있습니다.

그렇다면 서로 교집합이 없는 경우의 조건부확률은 어떨까요?

동전을 던져 나오는 숫자와 비가 오는 사건 처럼 서로 독립적인 사건에 대해서는 한 사건이 다른 사건에 영향을 미치지 않으므로 조건부확률과 목표로 하는 사건의 확률이 같습니다.

조건부확률의 표기

사건 A가 일어났을 때(조건), 다른 사건 B가 일어날(목표) 확률은 다음과 같이 표기합니다.

• 종속사건
  $P(B|A) = \dfrac {P(A\cap B)} {P(A)}$
• 독립사건
  $P(B|A) = P(B)$

예제

위의 1번 예제를 풀어보겠습니다.

사건 A인 주사위에서 4 이상의 숫자가 나올 확률은 $\dfrac {3} {6} = \dfrac {1} {2}$입니다.

사건 B는 짝수가 나오는 경우이고, 짝수이면서 4 이상일 경우인 ${P(A\cap B)}$는 $\dfrac {2} {6} = \dfrac {1} {3}$입니다.

이 정보를 바탕으로 조건부확률을 계산해보면
$P(B|A) =\dfrac {P(A\cap B)} {P(A)}=\dfrac {\dfrac {1} {3}} {\dfrac {1} {2}}=\dfrac {2} {3}$가 됩니다.

2번도 풀어보겠습니다.

두두지가 아침으로 베이글을 먹을 사건 A의 확률은 0.6입니다. 또 점심으로 피자를 먹을 사건인 B의 확률은 0.5입니다. 그리고 점심으로 피자를 먹었을 때 아침에 베이글을 먹는 사건의 확률인 $P(A|B)$는 0.7입니다.

조건부확률을 계산하기 위해서는 $P(A\cap B)$의 값을 알아야합니다.

예제 1번의 경우 바로 계산할 수 있었지만, 2번의 경우에는 조건부확률 계산식을 변형하여 문제를 풀 수 있습니다.

현재 $P(A|B)$가 주어졌으며 이를 계산식으로 표현하면 다음과 같습니다.

$P(A|B)=\dfrac {P(A\cap B)} {P(B)}$

양변에 $P(B)$를 곱해줍니다.

$P(A|B)\cdot P(B) = P(A\cap B)$

문제에서 주어진 조건으로 $P(A\cap B)$를 계산하면 다음과 같습니다.

$0.7\times0.5 = 0.35$

다시 구하려고 했던 $P(B|A)$로 돌아와 계산식에 대입하면 결과를 얻을 수 있습니다.

$P(B|A) =\dfrac {P(A\cap B)} {P(A)}=\dfrac {0.35} {0.6}=0.58\dot3$

확률의 곱셉법칙

위에서 $P(A\cap B)$를 계산하기 위해 계산식을 변형한 것을 확률의 곱셈법칙이라고 합니다.

$P(A\cap B) = P(A|B)\cdot P(B) = P(B|A)\cdot P(A)$