[3] VaR 측정(2)

5. 포트폴리오 VaR와 공헌 VaR

(1) Undiversified VaR & Diversified VaR

전 게시글에서 말했다시피, 상관관계를 무시하고 개별 자산의 VaR을 합한 포트폴리오의 VaR을 Undiversified VaR이라고 한다. 반면에 상관관계를 고려한 것을 Diversified VaR이라고 하며 다음과 같다.

$VaR_P = a\sqrt{x^T\Sigma x}=\sqrt{Z^TRZ}$

(2) 한계 VaR, 증분 VaR, 공헌 VaR

1) 한계 VaR (Marginal VaR)

특정 자산을 포함한 포트폴리오의 VaR과 특정 자산을 제외한 포트폴리오의 VaR의 차이를 말한다.

$MVaR_A = VaR_P-VaR_{P-A}$

MVaR이 0에 가까우면 전체 VaR에 특정 자산이 공헌하는 부분이 미미하다고 볼 수 있다. 반대로 MVaR이 클수록 전체 VaR에서 특정 자산이 공헌하는 부분이 크다고 할 수 있다. 또한 헤지 포지션일 경우 MVaR이 음수가 될 것이다. 따라서 MVaR은 포트폴리오의 리스크를 줄이기 위해 어떤 자산을 청산해야 하는 가에 대한 질문에 답이 될 수 있다.

2) 증분 VaR (Incremental VaR)

특정 자산의 가중치를 약간 증가시켰을 때 포트폴리오 VaR의 증감으로 계산한다. 증분 VaR을 이용하면 포트폴리오의 리스크 중 개별 자산이 공헌하는 비율을 계산할 수 있으므로 공헌 VaR(Contribution VaR)이라고 할 수 있다. 다음은 포트폴리오 분산을 이해하기 위해 만든 예시 표다.

비중	$w_1$	$w_2$	$w_x$	$w_y$
$w_1$	$Cov(R_1,R_1)$	$Cov(R_1,R_2)$	$Cov(R_1,R_x)$	$Cov(R_1,R_y)$
$w_2$	$Cov(R_2,R_1)$	$Cov(R_2,R_2)$	$Cov(R_2,R_x)$	$Cov(R_2,R_y)$
$w_x$	$Cov(R_x,R_1)$	$Cov(R_x,R_2)$	$Cov(R_x,R_x)$	$Cov(R_x,R_y)$
$w_y$	$Cov(R_y,R_1)$	$Cov(R_y,R_2)$	$Cov(R_y,R_x)$	$Cov(R_y,R_y)$

이 표를 이용해서 자산$x$의 분산에 공헌하는 정도를 구하면 다음과 같다.
$w_x[w_1Cov(R_x,R_1)+w_2Cov(R_x,R_2)+w_xCov(R_x,R_x)+w_yCov(R_x,R_y)]$
$=w_x[Cov(R_x,w_1R_1)+Cov(R_x,w_2R_2)+Cov(R_x,w_xR_x)+Cov(R_x,w_yR_y)]$
$=w_x[Cov(R_x, w_1R_1+w_2R_2+w_xR_x+w_yR_y$)]
$=w_xCov(R_x, R_p)$

즉, 자산$x$의 IVAR을 구하면 다음과 같다.

$IVAR_x$
$=VaR_P\times\frac{자산x가 분산에 공헌하는 정도}{\sigma_P^2}$
$=VaR_P\times\frac{w_xCov(R_x, R_p)}{\sum_i\sum_j w_iw_j\sigma_{ij}}$
$=VaR_P\times\beta_x$

여기서 $\beta_x$을 자산$x$의 공헌비율이라고 한다.

IVaR은 포트폴리오의 리스크를 줄이기 위해 어떤 개별 자산을 헤지해야 하는가의 질문에 답이 될 수 있다.

(3) 시계열적으로 독립적이지 않은 경우

시간의 제곱근 공식은 IID를 따른다는 가정하에서 성립한다고 볼 수 있다. 하지만 그렇지 않은 경우는 어떠할까. 다음은 2일 수익률 분산의 계산 과정이다.

$V(r_t+r_{t-1}) = \sigma^2+\sigma^2+2\rho\sigma^2=\sigma^2(2+2\rho)$

즉, 시간의 제곱근 공식의 $2\sigma$와 달리 $\rho$값에 의해 조금 다르다. 3일의 경우엔 어떠할까.

$V(r_t+r_{t-1}+r_{t-2})$
$=\sigma^2+\sigma^2+\sigma^2+2\rho\sigma^2+2\rho\sigma^2+2\rho\sigma^2\rho$
$=\sigma^2(3+4\rho+2\rho^2)$

6. VaR의 계산 예시

A주식의 가치는 100억원 일별 변동성은 3%이다. B주식의 가치는 50억원이고 일별 변동성은 2%이다. 1일 기준 95% 신뢰 수준에서 $a$는 1.65이다. 두 주식 수익률 간의 상관계수를 0.5라고 하자.

$VaR_A=1.65\times100억\times0.03=4.95억$
$VaR_B=1.65\times50억\times0.02=1.65억$

그리고 $w_A=2/3, w_b=1/3$을 바탕으로 포트폴리오의 분산은 다음과 같다.

$\sigma_p =\sqrt{w_A^2\sigma_A^2+w_B^2\sigma_B^2+2w_Aw_B\sigma_A\sigma_B\rho_{AB}}=2.404\%$

$VaR_P$는 $\sigma_P$를 이용해 구하거나 개별 자산의 $VaR$을 이용해서 구할 수 있다.

• $VaR_P=1.65\times150억\times0.02404=5.95억$
• $VaR_P=\sqrt{VaR_A^2+VaR_B^2+2\rho_{AB}VaR_AVaR_B}=5.95억$
• $분산 효과 =(4.95억+1.65억)-5.95억 = 0.65억$

공헌비율 및 IVaR를 구해보자.

$IVaR_A = 5.95\times\frac{4.95^2+0.5\times4.95\times1.65}{5.95^2}=5.95\times0.808 = 4.81억$
$IVaR_B = 5.95\times\frac{1.65^2+0.5\times4.95\times1.65}{5.95^2}=5.95\times0.192 = 1.14억$

마지막으로 MVaR를 구해보자.

$MVaR_A=VaR_P-VaR_B=5.95-1.65=4.3억$
$MVaR_B=VaR_P-VaR_A=5.95-4.95=1억$

7. Expected Shortfall

ES는 VaR보다 더 큰 손실의 기댓값으로 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$ES = E[-\triangle V|-\triangle V>VaR]$

상황이 악화된 경우 손실 크기에 대해 추정한 값이기 때문에 유용한 정보를 제공한다.

예를 들어 A포트폴리오와 B포트폴리오 손실 크기가 큰 순서대로 나열한 것이 다음과 같다고 하자.

A : 150억, 120억, 110억, 80억, 70억, 50억, 45억, $\cdots$
B : 62억, 60억, 55억, 53억, 51억, 50억, 48억, $\cdots$

신뢰수준 99%에서 A, B 둘 다 VaR이 50억이라고 동일하다고 하자.
하지만 ES는 각각 106억과 56.2억으로 크게 차이가 난다.

8. 자산의 유형과 매핑

(1) 선형자산 & 비선형자산

포트폴리오는 몇가지 포지션으로 구분할 수 있고 각 포지션별 기초자산을 이용해 리스크를 측정할 수 있다. 포지션의 가치와 기초자산의 가치가 선형적인 경우 $\delta$를 통해 기울기를 구할 수 있으며, 비션형적인 경우 $\gamma$를 통해 볼록성을 구할 수 있다. 포지션 유형은 다음과 같다.

1) 선형자산

• 채권 : 채권 가격
• 주식 : 주가지수
• 외환 : 환율
• 상품 : 상품가격

2) 선형 파생상품

• 금리스왑 : 채권 가격
• 통화선도 : 환율/MMP
• 변동금리 채권 : MMP/채권 가격
• 선도금리 계약 : MMP
• 역변동금리 채권 : MMP/채권 가격

3) 비선형 파생상품

• 주식옵션 : 주가
• 채권옵션 : 채권 가격
• 통화옵션 : 환율

선형자산은 정규분포를 통해 delta-normal method로 계산할 수 있지만 비선형자산의 경우 볼록성을 고려려 delta-gamma method로 계산한다.

(2) 매핑

앞서 구한 VaR은 개별 포지션간 공분산과 상관계수을 통해 구했다. 하지만 자산의 수가 늘어나면 계산량이 기하급수적으로 증가하므로, 대신 실제 포지션을 표준화된 포지션으로 전환하는데 이 과정을 매핑이라고 한다. 매핑할 때 포지션은 순 포지션으로 제한된다. delta-normal method에 의한 포지션의 변화는 $\delta$와 기초자산의 변화의 곱이다. 여기서 $\delta$는 기초자산의 가치 변화에 대한 포지션의 가치 변화 즉, 민감도를 일컫는다.

$VaR = W\times \frac{dW}{dP}\times a\times \sigma_P \times \sqrt{T}$

여기서 $\frac{dW}{dP}$는 $\delta$를 $a\times \sigma_P \times \sqrt{T}$는 기초자산의 목표기간 $T$동안 주어진 신뢰 수준에서 위험요인의 최악의 움직임(adverse extreme move)을 의미한다.

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마치며

드디어 VaR의 개념에 대해 정리하고 예시를 풀어보았다. 요즘엔 실생활에서 개인에게 노출되는 리스크가 뭐가 있을지 떠올려보곤 하는데, 쉽지 않다. 그리고 실제로 sql을 많이 사용한다고 해서, 다뤄보고 싶은 마음에 혼공sql을 주문했다. 언젠간 프로그래밍 뚝딱 하면서 문제를 정의하고 해결하는 사람이 되어있진 않을까...?

다음엔 변동성에 대해 공부하고 이후에 delta-normal mothod를 적용해볼 예정이다.

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