[3] VaR 측정(1)

정창현·2023년 9월 13일

Studying about Risk

목록 보기

3/9

1. 보유기간과 신뢰수준

VaR에 대해, 보유기간과 신뢰수준을 선택해야 한다. 바젤위원회는 99%의 신뢰수준과 10일의 보유기간을 이용한다고 하며, 최소 요구자본(Market Risk Charge)는 다음과 같다. ( $k$ 는 안전 승수로 최소 3, 최대 4)

$MRC = max\{k\times \frac{1}{60}\sum_{i=t-1}^{t-60}VaR_i, VaR_{t-1}\}$

(1) 보유기간

포트폴리오의 성격에 따라 다르지만, 자주 계산하는 데에 따른 비용과 잠재적 위험을 초기에 파악하는 편익의 상충관계를 고려한다.

(2) 신뢰수준

신뢰수준이 높으면 VaR이 크게 산정되므로 MRC가 증가한다. 즉, 재무건전성이 향상되나 수익성은 악하될 수 있다. 추가적으로 높은 신뢰수준은 사후검증시에 시간이 더 오래 소요된다.

2. 평균 기준 VaR와 절대 손실 VaR

최초 투자액을 $W_0$ , 연속 복리수익률을 $r$ , 그리고 $r$ 의 평균과 표준편차를 $\mu$ 와 $\sigma$ 라 하자.이라고 하자.(편의상 보유기간 말 포트폴리오의 가치를 $W_0(1+r)$ 로 계산하겠다.) 신뢰 수준 $c$ 에서 가능한 포트폴리오 최소가치를 $W^*$ , 그리고 이 때의 수익률을 $r^*$ 로 정의한다.

(1) 평균 기준 VaR : 포트폴리오의 기대가치 기준

$VaR_{평균기준}$
$=E(W)-W^*$
$=W_0(1+\mu)-W_0(1+r^*)$
$=-W_0(r^*-\mu)$

(2) 절대 손실 VaR : 포트폴리오의 현재가치 기준

$VaR_{절대손실}$
$=W_0-W^*$
$=W_0-W_0(1+r^*)$
$=-W_0r^*$

3. Nonparametric method

포트폴리오의 미래가치의 확률분포가 정규분포를 따른다고 가정하지 않을 경우 적용하는 방법으로 percentile rankingl method라고 하기도 한다. 가령 100개의 관찰치 중 95%의 신뢰수준에서 VaR을 구한다고 하면 하위 $100*5\%=5$ 번째 관찰치를 $W^*$ 를 사용할 수 있다.

4. Parametric method

(1) 정규분포 가정하의 VaR

$f(w)\sim N(\mu, \sigma^2)$ : 정규분포
$\Phi(\epsilon)\sim N(0, 1)$ : 표준정규분포
$N(x)= \int_{-\infty}^{x}\Phi(\epsilon)d\epsilon$ : 누적 표준정규분포
$-a = \frac{r^*-\mu}{\sigma}$ (통상적으로 $a>0)$

신뢰수준 $c$ 에서 VaR을 구해보자.

$1-c=\int_{-\infty}^{W^*}f(w)dw=\int_{-\infty}^{r^*}f(r)dr=\int_{-\infty}^{-a}\Phi(\epsilon)d\epsilon$

$N(d)= 1-c$

$d = -a$

즉, $d$ 의 왼쪽 영역의 합은 $1-c$ 이다.

예를 들어, 95%의 신뢰수준을 이용하면 $N(d) = 1-c = 5\%$ 이므로 $a=1.65, d=-1.65$ 임을 알 수 있다.

또한 $a$ 를 이용해서 VaR을 재정의해보자. $(r^*=\mu-a\sigma)$

$VaR_{평균기준}=-W_0(r^*-\mu)=W_0a\sigma$
$VaR_{절대손실}=-W_0r^*=W_0(a\sigma-\mu)$

(2) VaR 간의 비교

위와 같이 VaR은 보유기간과 신뢰수준에 따라 다르기 때문에, 비교를 위해선 같은 조건으로 맞춰줘야 한다.

가령 신뢰수준 $c_1$ 에서 보유기간 $t_1$ 동안 계산한 $a_1, VaR_1$ 을 신뢰수준 $c_2$ 에서 보유기간 $t_2$ 동안 계산한 $a_2, VaR_2$ 로 전환하고자 한다면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$VaR_2 = \frac{a_2}{a_1}\times \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}\times VaR_1$

하지만 이전 게시물에서 말했듯, 변동성을 시간의 제곱근에 비례해서 계산하면 실제 변동성과 괴리가 클 수 있으므로 주의해야 한다. 따라서 지난 자료로부터 $t_2$ 기준의 변동성을 추정하는 방법이 알맞다.

5. 포트폴리오 VaR과 공헌 VaR

여기선 편의목적상 기대수익률을 0으로 가정하겠다. 그러므로 평균기준 VaR과 절대손실 VaR이 같다.

$VaR=-W_0r^*=W_0a\sigma = a \times W_0\sigma$

여기서 $W_0\sigma$ 는 금액기준으로 한 변동성이다.

포트폴리오 $P$ 는 자산 $A$ 와 자산 $B$ 가 $w_A$ 와 $w_B$ 의 비율로 구성되어 있고, 이 때의 표준편차를 $\sigma_P$ 라고 하자. $W_0w_A = x_A, W_0w_B = x_B$ 라고 하면, $VaR_p$ 는 다음과 같다.

$VaR_p=a\times W_0\sigma_p=a\sqrt{\begin{pmatrix}x_A&x_B\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sigma_A^2&\sigma_{AB}\\\sigma_{BA}&\sigma_{B^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_A\\x_B\end{pmatrix}}$

이를 $n$ 개의 자산으로 구성된 포트폴리오로 일반화하면 다음과 같다.

$VaR_p=a\sqrt{x^T\Sigma x}=\sqrt{x^TaS^TRSax}$

여기서 $x = (x_i )_i =(W_0w_i)_i$ 이고 $\Sigma=(\sigma_{ij})_{i,j}=(\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j)_{ij}$ 이다. 그리고 $S$ 는 대각성분이 표준편차, 이 외엔 0인 행렬이고 $R$ 은 상관계수 행렬이다.