1. 외환 VaR
(1) 환위험을 고려한 VaR
외환 포지션의 V a R VaR V a R W f W_f W f W W W E E E σ E \sigma_E σ E
V a R = α σ E W f = α σ E W E VaR = \alpha\sigma_E\ W_f=\alpha\sigma_E\ WE V a R = α σ E W f = α σ E W E
(2) 환위험과 이자율을 같이 고려한 VaR
이자율까지 고려한 VaR은 분산-공분산 방식으로 구할 수 있다.V a R = V a R 채권가격 2 + V a R 환율 2 + 2 ρ V a R 채권가격 V a R 환율 VaR = \sqrt{VaR_{채권 가격}^2+VaR_{환율}^2+2\rho VaR_{채권 가격}VaR_{환율}} V a R = V a R 채 권 가 격 2 + V a R 환 율 2 + 2 ρ V a R 채 권 가 격 V a R 환 율
예를 들어 미국의 A기업이 10년 만기의 독일 국채에 140M 마르크를 투자했다고 가정해보자. 현재 환율은 1.40 DEM/USD이다. 해당 국채의 일별 가격 변동성은 0.605%, DEM/USD 환율의 일별 변동성은 0.565%이다. 상관계수는 -0.27이라고 하자.
V a R 채권가격 = 1.65 × 0.565 % × 140 M × 1 1.40 = 932 , 250 VaR_{채권가격}=1.65\times 0.565\%\times140M\times\frac{1}{1.40}=932,250 V a R 채 권 가 격 = 1 . 6 5 × 0 . 5 6 5 % × 1 4 0 M × 1 . 4 0 1 = 9 3 2 , 2 5 0 V a R 환율 = 1.65 × 0.605 % × 140 M × 1 1.40 = 998 , 250 VaR_{환율}=1.65\times 0.605\%\times140M\times\frac{1}{1.40}=998,250 V a R 환 율 = 1 . 6 5 × 0 . 6 0 5 % × 1 4 0 M × 1 . 4 0 1 = 9 9 8 , 2 5 0 V a R = ( 932 , 250 ) 2 + ( 998 , 250 ) 2 + 2 × ( − 0.27 ) × 932 , 250 × 998 , 250 = 1 , 167 , 501 VaR = \sqrt{(932,250)^2+(998,250)^2+2\times(-0.27)\times932,250\times998,250}=1,167,501 V a R = ( 9 3 2 , 2 5 0 ) 2 + ( 9 9 8 , 2 5 0 ) 2 + 2 × ( − 0 . 2 7 ) × 9 3 2 , 2 5 0 × 9 9 8 , 2 5 0 = 1 , 1 6 7 , 5 0 1
2. 채권 VaR
(1) Duration
수익률 곡선은 수평이며 항상 평행이동한다고 가정한다.
1) Dollar Duration
DD 는 채권의 수익률 변화에 따른 채권 가격의 변화이다.
D D = − Δ P Δ y = 1 1 + y ∑ t = 1 T t × C F t ( 1 + y ) t DD = -\frac{\Delta P}{\Delta y} = \frac{1}{1+y}\sum_{t=1}^{T}t\times \frac{CF_t}{(1+y)^t} D D = − Δ y Δ P = 1 + y 1 ∑ t = 1 T t × ( 1 + y ) t C F t
채권 가격의 변화이므로 DD가 크다고 해서 반드시 위험한 채권을 의미하지 않는다. 가격의 변화와 가격의 변화율은 별개이기 때문이다. DV01 은 DD를 10,000으로 나눈 값으로 수익률이 1bp 변할 때의 채권 가격의 변화를 알 수 있다.
2) Modified Duration
수익률의 변화에 따른 가격의 변화율을 파악하려면 MD를 이용할 수 있다.
M D = D D / P = Δ P / P Δ y = 1 1 + y ∑ t = 1 T t × C F t ( 1 + y ) t × 1 P MD=DD/P=\frac{\Delta P/P}{\Delta y} = \frac{1}{1+y}\sum_{t=1}^{T}t\times \frac{CF_t}{(1+y)^t}\times \frac{1}{P} M D = D D / P = Δ y Δ P / P = 1 + y 1 ∑ t = 1 T t × ( 1 + y ) t C F t × P 1
⇒ Δ P P = − M D × Δ y \Rightarrow \frac{\Delta P}{P}= -MD\times\Delta y ⇒ P Δ P = − M D × Δ y
3) Macaulay Duration
D는 현금흐름의 가중평균으로 계산되며 가격 리스크를 고려한 채권의 실질적 만기를 의미한다.
D = M D × ( 1 + y ) D = MD\times(1+y) D = M D × ( 1 + y ) = ∑ t = 1 T t × C F t ( 1 + y ) t × 1 P =\sum_{t=1}^{T}t\times \frac{CF_t}{(1+y)^t}\times \frac{1}{P} = ∑ t = 1 T t × ( 1 + y ) t C F t × P 1
D는 여러가지 의미로 정의된다.
채권의 듀레이션은 동등한 무이표채의 만기다.
듀레이션은 재투자수익과 채권 가격의 변화가 미치는 상반된 영향을 서로 상쇄시키는 데 필요한 시간이다.
투자자가 현재가치를 기준으로 투자금액의 절반을 회수하는 데 평균적으로 소요되는 기간이다.
4) Convexity
C V = d 2 P d y 2 × 1 P CV = \frac{d^2P}{dy^2}\times\frac{1}{P} C V = d y 2 d 2 P × P 1
채권의 가격과 수익률은 양의 볼록성을 갖고 있기 때문에 듀레이션만을 이용한 추정은 오차가 존재한다. 수익률 감소에 따른 채권 가격은 추정치보다 실제론 크게 상승하고, 수익률 증가에 따른 채권 가격은 추정치보다 실제론 적게 감소한다. 수익률 변동에 따른 채권 가격을 듀레이션을 통해 추정하면 실제보다 보수적인 값이 나온다고 볼 수 있겠다.
(2) 수평 수익률 곡선 가정하의 채권 VaR
MD를 통해 채권의 가격 변화율의 변동성을 계산해서 VaR을 구할 수 있다.
Δ P P = − M D × Δ y \frac{\Delta P}{P}= -MD\times\Delta y P Δ P = − M D × Δ y ⇒ σ ( Δ P P ) = M D × σ ( Δ y ) \Rightarrow \sigma(\frac{\Delta P}{P})=MD\times\sigma(\Delta y) ⇒ σ ( P Δ P ) = M D × σ ( Δ y ) ⇒ σ ( Δ P P ) = M D × y × σ ( Δ y y ) \Rightarrow \sigma(\frac{\Delta P}{P})=MD\times y \times \sigma(\frac{\Delta y}{y}) ⇒ σ ( P Δ P ) = M D × y × σ ( y Δ y )
수익률 변동성을 σ ( Δ y ) \sigma(\Delta y) σ ( Δ y ) σ ( Δ y y ) \sigma(\frac{\Delta y}{y}) σ ( y Δ y )
V a R VaR V a R = α × W × σ ( Δ P P ) =\alpha\times W\times\sigma(\frac{\Delta P}{P}) = α × W × σ ( P Δ P ) = α × W × M D × σ ( Δ y ) =\alpha\times W\times MD\times\sigma(\Delta y) = α × W × M D × σ ( Δ y ) = α × W × M D × y × σ ( Δ y y ) =\alpha\times W\times MD\times y \times \sigma(\frac{\Delta y}{y}) = α × W × M D × y × σ ( y Δ y )
(3) 일반적인 경우의 채권 VaR
만기 5년, 액면이자율이 6%인 액면가 채권A(D=4.4651)과 만기 1년 액면이자율이 4%인 액면가 채권B에 각각 100억씩 투자한 채권 포트폴리오의 VaR을 아래 3가지 방법으로 구해보자.
1년 2년 3년 4년 5년 현물이자율(%) 4.000 4.618 5.192 5.716 6.112 σ ( % ) × 1.65 \sigma(\%)\times 1.65 σ ( % ) × 1 . 6 5 0.470 0.987 1.484 1.971 2.426
1) Principal Mapping
만기 전의 모든 액면이자의 지급을 무시하고 원금만을 인식하는 방법이다.
채권A는 현재가치가 100억원인 만기 5년의 무이표채로 매핑한다. 채권B는 현재가치가 100억원인 만기 1년의 무이표채로 매핑한다.
가중평균 만기는 0.5 × 5 년 + 0.5 × 1 년 = 3 년 0.5\times5년+0.5\times1년=3년 0 . 5 × 5 년 + 0 . 5 × 1 년 = 3 년
V a R = 200 억 × 0.01484 = 2.97 억 VaR=200억\times0.01484=2.97억 V a R = 2 0 0 억 × 0 . 0 1 4 8 4 = 2 . 9 7 억
2) Duration Mapping
해당 채권의 듀레이션을 만기로 하는 무이표채로 인식하는 방법이다.
채권A는 현재가치가 100억원인 만기 4.4651년의 무이표채로 매핑한다. 채권B는 현재가치가 100억원인 만기 1년의 무이표채로 매핑한다.
가중평균 만기는 0.5 × 4.4651 년 + 0.5 × 1 년 = 2.733 년 0.5\times 4.4651년+0.5\times1년=2.733년 0 . 5 × 4 . 4 6 5 1 년 + 0 . 5 × 1 년 = 2 . 7 3 3 년
리스크메트릭스상에 2.733년에 해당하는 변동성 값이 없으므로, 또다시 매핑한 채권을 만기가 2년, 3년으로 구성된 채권 포트폴리오로 복제한다. 복제시 구성비율을 결정하는 방법은 Risk matching method와 Duration matching method가 있다.
Risk matching method 는 채권 포트폴리오 P의 변동성을 2개의 채권의 변동성의 선형 보간법으로 계산한다. 2개의 채권의 상관관계를 알고 있으면 구성비율을 정할 수 있다. (구성비율 w w w
σ P = 0.987 % + ( 1.484 % − 0.987 % ) × ( 2.733 − 2 ) = 1.351 % \sigma_P = 0.987\%+(1.484\%-0.987\%)\times(2.733-2)=1.351\% σ P = 0 . 9 8 7 % + ( 1 . 4 8 4 % − 0 . 9 8 7 % ) × ( 2 . 7 3 3 − 2 ) = 1 . 3 5 1 %
σ P 2 = w 2 σ 2 Y 2 + ( 1 − w ) 2 σ 3 Y 2 + 2 w ( 1 − w ) ρ 2 Y , 3 Y σ 2 Y σ 3 Y \sigma_P^2=w^2\sigma_{2Y}^2+(1-w)^2\sigma_{3Y}^2+2w(1- w)\rho_{2Y,3Y}\sigma_{2Y}\sigma_{3Y} σ P 2 = w 2 σ 2 Y 2 + ( 1 − w ) 2 σ 3 Y 2 + 2 w ( 1 − w ) ρ 2 Y , 3 Y σ 2 Y σ 3 Y ⇒ w = 26.35 % \Rightarrow w=26.35\% ⇒ w = 2 6 . 3 5 %
Duration matching method 는 채권 포트폴리오 P의 듀레이션과 P를 구성하는 2개의 채권의 듀레이션을 가중평균한 듀레이션이 같도록 구성비율을 정하는 방법이다.
w D 1 + ( 1 − w ) D 2 = 2.733 wD_1+(1-w)D_2=2.733 w D 1 + ( 1 − w ) D 2 = 2 . 7 3 3 ⇒ w = 26.75 % \Rightarrow w = 26.75\% ⇒ w = 2 6 . 7 5 %
Risk matching method를 이용하면 만기 2년인 무이표채 채권 200 억 × 26.35 % = 52.71 억 200억\times26.35\%=52.71억 2 0 0 억 × 2 6 . 3 5 % = 5 2 . 7 1 억 200 억 × 73.65 % = 147.29 억 200억\times73.65\%=147.29억 2 0 0 억 × 7 3 . 6 5 % = 1 4 7 . 2 9 억
σ p \sigma_p σ p = ( 26.3 5 2 % ) ( 0.98 7 2 % ) + ( 73.6 5 2 % ) ( 1.48 4 2 % ) + 2 ( 0.9908 ) ( 26.35 % ) ( 73.65 % ) ( 0.987 % ) ( 1.484 % ) =\sqrt{(26.35^2\%)(0.987^2\%)+(73.65^2\%)(1.484^2\%)+2(0.9908)(26.35\%)(73.65\%)(0.987\%)(1.484\%)} = ( 2 6 . 3 5 2 % ) ( 0 . 9 8 7 2 % ) + ( 7 3 . 6 5 2 % ) ( 1 . 4 8 4 2 % ) + 2 ( 0 . 9 9 0 8 ) ( 2 6 . 3 5 % ) ( 7 3 . 6 5 % ) ( 0 . 9 8 7 % ) ( 1 . 4 8 4 % ) = 1.351 % =1.351\% = 1 . 3 5 1 %
V a R = 200 억 × 0.01351 = 2.702 억 VaR = 200억\times0.01351 = 2.702억 V a R = 2 0 0 억 × 0 . 0 1 3 5 1 = 2 . 7 0 2 억
3) Cashflow Mapping
모든 개별 현금흐름의 시점과 금액을 파악한 후 현재가치로 전환하는 방법이다.
만기 채권A 채권B 만기수익률(%) 매핑 1 6 104 4.000 105.77 2 6 4.618 5.48 3 6 5.192 5.15 4 6 5.716 4.80 5 106 6.112 78.79
상관계수를 무시하고(ρ = 1 \rho=1 ρ = 1 W i W_i W i
V a R = ∑ i α × σ i × W i = 2.63 억 VaR = \sum_i \alpha\times\sigma_i\times W_{i}=2.63억 V a R = ∑ i α × σ i × W i = 2 . 6 3 억
상과계수를 고려하여 VaR을 구하면 다음과 같다. [ V a R ] i [VaR]_i [ V a R ] i α × σ i \alpha\times\sigma_i α × σ i 5 × 1 5\times1 5 × 1 [ ρ ] i j [\rho]_{ij} [ ρ ] i j 5 × 5 5\times5 5 × 5
V a R = [ V a R ] i T [ ρ ] i j [ V a R ] i = 2.57 억 VaR = \sqrt{[VaR]_i^T [\rho]_{ij}[VaR]_i}=2.57억 V a R = [ V a R ] i T [ ρ ] i j [ V a R ] i = 2 . 5 7 억
채권의 분산효과로 인해 0.06 억 0.06억 0 . 0 6 억
