[6] Delta-normal method (주식)

1. 주식 VaR

(1) 주식 VaR 도출

지금까지 포트폴리오 변동성(분산)은 완전 공분산 모형(Theory of portfolio selection by Harry Markowitz)으로 계산했다. 포트폴리오를 구성하는 주식이 $N$개일 경우, 계산해야 하는 공분산은 $\frac{N(N-1)}{2}$개다. 즉, 계산량이 크게 증가한다. 샤프(Sharpe)는 공분산의 추정을 단순화하는 시장 모형을 제시 했다. 이 모형에서 개별 자산의 수익률은 시장 포트폴리오의 수익률과 잔차에 의해 결정된다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$R_i = a_i+\beta_iR_M+\epsilon_i$

• $E(\epsilon_i)=0$
• $V(\epsilon_i)=\sigma_{\epsilon_i}^2$
• $Cov(\epsilon_i,R_m)=0$   $\rightarrow E(\epsilon_iR_M)=0$
• $Cov(\epsilon_i,\epsilon_j)=0$   $\rightarrow E(\epsilon_i\epsilon_j) = 0$

시장 포트폴리오의 수익률 $R_M$의 분산을 $\sigma_M^2$이라고 한다면 개별 주식의 수익률의 분산과 공분산은 다음과 같다.

• $V(R_i)$
  $= V(a_i+\beta_iR_M+\epsilon_i)$
  $= \beta_i^2V(R_M)+V(\epsilon_i) + 2\beta_i Cov(R_M, \epsilon_i)$
  $=\beta_i^2\sigma_M^2+\sigma_{\epsilon_i}^2$

• $Cov(R_i, R_j)$
  $=Cov(\beta_iR_M +\epsilon_i, \beta_jR_M +\epsilon_j)$
  $=\beta_i\beta_jV(R_M)+\beta_iCov(R_M,\epsilon_j)+\beta_jCov(\epsilon_i, R_M)+Cov(\epsilon_i, \epsilon_j)$
  $=\beta_i\beta_j\sigma_M^2$

$V(R_i)$ 중 시장에 의한 변동성인 $\beta_i^2\sigma_M^2$는 체계적 위험(systematic risk) 혹은 시장위험(market risk)이라고 한다. 그리고 $\sigma_{\epsilon_i}^2$는 비체계적 위험(unsystematic risk) 혹은 특수위험(unique risk)라고 한다. 이때 비체계적 위험을 무시하고 개별 주식의 VaR을 추정하면 다음과 같다.

$VaR = a\times W_o\times \beta_i\sigma_M$

이 방법을 적용하면 필요한 자료는 시장지수의 변동성과 개별 주식의 베타만 있으므로 완전 공분산 모형에 비해 매우 심플하게 VaR을 구할 수 있다. 하지만 특정 사업에 집중된 포트폴리오 혹은 특수 위험이 충분히 분산되지 않은 포트폴리오에 이 방법을 적용하는 것은 적절치 않다.

(2) 계산 예시

총 투자금액은 300억이고 세 주식에 동일 비중으로 투자한 포트폴리오이다. 각 주식의 베타는 1.149, 1.427, 0.983이다. 시장 지수의 수익률 분산은 0.004504이다. 보유기간은 1개월이고 신뢰수준은 95%(1.65)이다.

(a) 완전 공분산 모형의 분산-공분산 행렬 (단위 $\%^2$)

$\sigma_{Markowitz} = (M\sigma)_{ij} = \begin{pmatrix} 161.26 \\ 108.36 & 184.96 \\ 81.80 & 76.59 & 116.04 \end{pmatrix}$

(b) 완전 공분산 모형의 상관계수 행렬

$\rho_{Markowitz} = (M\rho)_{ij} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0.627 & 1 \\ 0.598 & 0.523 & 1 \end{pmatrix}$

(c) 시장 모형의 분산-공분산 행렬 (단위 $\%^2$)

$\sigma_{Sharpe} = (S\sigma)_{ij} = \begin{pmatrix} 59.41 \\ 73.85 & 91.72 \\ 50.87 & 63.18 & 43.52 \end{pmatrix}$

(d) 시장 모형의 상관계수 행렬

$\rho_{Sharpe} = (S\sigma)_{ij} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

1) 완전 공분산 모형

실제 분산, 공분산을 이용해 VaR 계산한다. (a)를 이용하자.

$\sigma_P^2 = \sum w_i^2(M\sigma)_{ii}^2 + 2\sum_{i<j} w_iw_j(M\sigma)_{ij}$
$\sigma_P =0.10519$
$\therefore VaR = 1.65\times300억\times0.10519=52.07억$

2) 대각선 모형

실제 분산과 단일 지수모형(샤프의 시장모형)에 의해 추정된 공분산을 이용한다. (a)와 (c)를 이용하자.

$\sigma_P^2 = \sum w_i^2(M\sigma)_{ii}^2 + 2\sum_{i<j} w_iw_j(S\sigma)_{ij}$
$\sigma_P =0.0965$
$\therefore VaR = 1.65\times300억\times0.0965=47.77억$

3) 베타 모형

단일 지수모형에 의해 추정된 분산과 공분산을 이용한다. (c)를 이용하자.

$\sigma_P^2 = \sum w_i^2(S\sigma)_{ii}^2 + 2\sum_{i<j} w_iw_j(S\sigma)_{ij}$
$\sigma_P =0.07962$
$\therefore VaR = 1.65\times300억\times0.07962=39.41억$

즉, VaR 계산을 위해 베타 모형은 변동성 자료를 매일 갱신할 필요가 없고, 베타 자료만을 갱신하면 된다.

위 결과는 비체계적 위험이 0이라는 가정 하에서 도출됐다는 것을 알고 있다.
따라서 $\rho_{ij} =\frac{\beta_i\beta_j\sigma_M^2}{\sqrt{\beta_i^2\sigma_M^2}\sqrt{\beta_j^2\sigma_M^2}}=1$ 임을 알 수 있다. 즉, (d)와 같은 결과가 나온다. 하지만 비체계적 위험을 무시하므로 완전 공분산 모형에 비해 VaR이 상당히 작게 계산된다.

샤프의 포트폴리오 이론에 의하면 20개에서 30개의 무작위로 추출된 포트폴리오는 비체계적 위험이 대부분 서로 상쇄되고 시장위험만을 갖게 된다고 한다. 이런 측면에서 베타 모형을 사용하면 합리적인 VaR을 계산할 수 있다.

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마치며

delta-normal method를 이용하여 주식의 VaR을 구해봤다.
다음으로 외환, 채권, 선형 파생상품, 비선형 파생상품을 위와 같은 방법으로 구해볼 예정이다. 이번 주는 일정이 있고, 다음 주는 추석 연휴라 좀 늘어질 것 같기도 한데, 틈틈이 공부해서 올려보겠다...!

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