[8] Delta-normal method (파생상품)

1. 선형 파생상품

(1) 선물

주가지수선물은 주가지수와, 채권선물은 채권과 동일한 수준의 위험을 갖는다고 가정한다. 실제로 선물과 현물간의 상관계수는 1에 가깝다.

• 소유의 혜택과 비용이 모두 없는 경우 : $F=Se^{rT}$
• 소유 혜택만 있는 경우 (금리 선물) : $F=(S-I)e^{rT}$
  $(I= PV($ 만기 전 모든 소득 $))$
• 소유 혜택만 있는 경우 (주가지수 선물) : $F=Se^{(r-q)T}$
  $(q=$ 연속 배당수익률 $)$
• 소유 혜택만 있는 경우 (통화 선물) : $F=Se^{(r-r_f)T}$
  $(r_f=$ 외국의 무위험 이자율 $)$
• 비용만 있는 경우 : $F=Se^{(r+u)T}$
  $(u=$ 보관비용(%) $)$
• 소유의 혜택과 비용 모두 있는 경우 : $F=Se^{(r+u-y)T}$
  $(y=$ 보유 편익률(%) $)$

(2) 통화선도

$T$시점의 인도가격을 $K$라고 하고 선도 가격을 $F$라고 하면 $T$시점에서 선도계약의 가치는 $F-K$이고 현재시점에서의 선도계약은 $f = (F-K)e^{-rT}$이다.
통화선도 계약이므로 $F=Se^{(r-r_f)T}$이다.
즉, 현재시점에서 통화선도 계약의 가치는 $f = Se^{-r_fT}-Ke^{-rT}$라고 할 수 있다.

만기가 1년이고 $$1M$을 매입할 수 있는 통화선도 계약 포지션의 VaR을 구해보자. $S=100, F=1,151.89, r=0.11, r_f=0.06$이라고 하자.

위의 통화선도 계약의 현재가치 $f$를 미분해서 살펴보자.

$df=\frac{∂f}{∂S}dS+\frac{∂f}{∂r_f}dr_f+\frac{∂f}{∂r}dr$
   $=e^{-r_fT}dS-Se^{-r_fT}Tdr_f+Ke^{-rT}Tdr$
   $=Se^{-r_fT}(dS/S)+Se^{-r_fT}(dP^f/P^f)-Ke^{-rT}(dP/P)$

여기서 $P$는 만기가 $T$이고 액면가가 1원인 국내 무이표채 가격이고, $P^f$는 만기가 $T$이고 액면가가 1달러인 해외 무이표채 가격이다. 이 통화선도 계약은 3개의 다음과 같은 거래로 복제한 다음, 이 복제 포트폴리오의 VaR을 통화선도 계약의 VaR로 생각할 수 있다.

i) $Se^{-r_fT}(dS/S)$ : 환율 현물 포지션(원$\rightarrow$달러)

ii) $Se^{-r_fT}(dP^f/P^f)$ : 미국 채권 매입 (달러 대여)

iii) $-Ke^{-rT}(dP/P)$ : 국내 채권 매도 (원화 차입)

각 거래의 현금흐름의 현가를 $x_1,x_2,x_3$라고 하면 분산 공분산 행렬식에 의해 VaR은 다음과 같다.

$VaR=\sqrt{Z^TRZ} = \sum_{i=1,2,3}\sum_{j=1,2,3}x_ix_j\sigma_i\sigma_j\rho_{ij}=₩65.109M$

(3) 선도금리

거래자로 하여금 미래 일정기간의 이자율을 고정시킬 수 있도록 하는 선도계약이다. 선도금리 계약의 효력이 발생하는 시점에서 현물 이자율이 선도 이자율보다 높으면 매도 포지션은 매입 포지션에게 그 차이를 원금에 적용시켜 지급해야 한다. 현물 이자율이 선도 이자율보다 작으면 반대로 적용한다. 즉, 선도금리의 매입 포지션은 차입이자율을 확정시키고, 매도 포지션은 이자수익률을 확정시킨다.

$6\times12$ 선도금리 계약 매도 포지션에 대해 고려해보자. 선도 이자율은 다음과 같다. (360일 현물 이자율$=6.356\%$, 180일 현물 이자율$=6.124\%$)

$1+f_{180,360}/2=\frac{1+0.06356}{1+0.06124/2}$

$\Rightarrow f_{180,360}=6.392\%$

즉, 6개월 시점에서 현물 이자율이 $6.392\%$보다 높으면 그 차이를 지급해야 하고, 낮으면 그 차이를 받는다.

이 선도금리의 원금을 $$100M$이라고 할 때, 원금이 각각 $$100M$인 2개의 무이표채의 합으로 복제될 수 있다. 만기가 6개월짜리 채권을 판매해서 만기가 12개월인 채권을 구매하면 된다. (만기 6개월 달러 차입, 만기 12개월 달러 대여와 동일) 이 두 채권의 VaR을 선도금리의 VaR로 생각할 수 있다.

(4) 금리스왑

고정금리와 변동금리를 교환하는 계약이다. 고정금리로 이자를 지급하는 포지션을 스왑의 매입(페이) 포지션이라고 하며, 고정금리로 이자를 수취하는 포지션을 스왑의 매도(리시브) 포지션이라고 한다.

2. 비선형 파생상품 : 옵션

(1) 헤징 모수

1) $\Delta$

기초자산의 가격 변화에 대한 옵션 가격의 변화이다. 이는 접선의 기울기로 볼 수 있다. $\Delta$를 $0$으로 만들면 짧은 기간동안 기초자산이 변해도 포트폴리오의 가치는 변하지 않는다. 이를 델타 헤징이라고 한다. 하지만 결국 기초자산이 변하면 옵션의 $\Delta$도 변하기 때문에 포트폴리오의 포지션을 재조정해야한다. 이러한 전략을 동적 헤징전략이라고 한다.

2) $\Gamma$

기초자산의 가격 변화에 대한 옵션 $\Delta$의 변화이다. 콜옵션의 $\Delta$는 양수, 풋옵션의 $\Delta$는 음수인 반면에 각각의 $\Gamma$는 동일하다.

3) $\Lambda$

기초자산 변동성의 변화에 대한 옵션 가격의 변화이다. 콜옵션과 풋옵션의 $\Lambda$는 동일하다.

4) $\rho$

무위험이자율 변화에 대한 옵션 가격의 변화이다.

5) $\Theta$

시간 경과에 대한 옵션 가격의 변화이다. 만기일까지의 기간이 감소함에 따라 옵션의 가치가 감소하는 경향이 있기 때문에 일반적으로 음수이다.

(2) Delta-normal method

옵션의 가치변화가 기초자산의 가치변화와 선형적인 관계에 있고, 옵션의 수익률이 정규분포를 따른다는 가정하에 VaR을 계산하는 방법이다.

$\sigma(dc)=\Delta\times\sigma(dS)$

옵션의 VaR을 계산하더라도 옵션의 가격이 아닌 기초자산의 가격을 기준으로 한다.

Delta-normal method은 다음과 같은 문제점이 존재한다.

• $\Gamma$가 크면 $\Delta$가 매우 심하게 변한다.
• $\Delta$가 상향과 하향 움직임에 있어서 비대칭적이다.
• 최악의 손실이 기초자산의 가격의 극단적인 움직임과 무관할 수 있다.
• 포트폴리오가 무위험 상태가 아니라도 포트폴리오의 $\Delta$가 $0$일 수 있다.

(3) Delta-gamma method

옵션 가격과 기초자산 가격은 비선형관계이므로 $\Delta$만을 이용한 VaR 측정은 부정확할 수 밖에 없다. 따라서 비선형성을 측정하는 $\Gamma$를 고려하면 VaR의 정확성이 향상된다.

윌슨(Wilson)은 다음과 같은 Delta-gamma method를 제시한다. VaR은 주어진 신뢰수준에서 최대 손실금액이므로 최적화 문제의 해에 해당한다.

$VaR : \max(-dc)$ subject to $\frac{dS^2}{(dS)^2}\leq \alpha^2$

$VaR = |\Delta|(\alpha\sigma S)-\frac{1}{2}\Gamma(\alpha\sigma S)^2$

또한, 리스크메트릭스의 Delta-gamma method는 $dS$와 $dS^2$가 정규분포를 따른다고 가정하며 옵션의 가치 변화를 $df=\Delta dS+\frac{1}{2}\Gamma dS^2$로 정의한다.

$V(df) = \Delta^2V(dS)+\frac{1}{2}[\Gamma V(dS)]^2$

$dS$가 정규분포를 따르기 때문에 비대칭도를 의미하는 왜도는 $0$이다. 즉, $Cov(dS,dS^2)=E(dS^3)=0$ 을 고려한 결과다. $\sigma=\sigma(\frac{dS}{S})$로 정의하면 $V(dS)=S^2\sigma^2$이므로 VaR은 다음과 같다.

$VaR = \alpha\sqrt{V(df)}=\alpha S\sqrt{\Delta^2\sigma^2+\frac{1}{2}\Gamma^2 S^2\sigma^4}$

윌슨이 제시한 방법과 리스크메트릭스 방법 모두 $\Gamma=0$ 일 때, $VaR=\alpha\Delta\sigma S$로 동일하다. 하지만 $\Gamma\neq0$ 일 경우, $\Gamma$의 부호에 따라 바뀌는 전자와 달리 후자는 $\Gamma$의 부호에 무관하게 절대값이 같으면 동일한 결과가 도출된다.

윌슨의 방법의 경우, 기초자산이 극단적으로 변했을 경우 최대 손실금액이 발생한다고 가정했기 때문에 스트래들 등과 같은 경우에 사용하는 것은 바람직하지 못하다. 또한 $\Gamma$가 클 경우 음수가 나올 수 있는데, 양수의 VaR이 적절한 정보를 제공해주기 때문에 사용하지 않는 것이 적절하다.

(4) Cornish-Fisher expansion

$dS$를 정규분포를 가정함에도 $df$에 델타와 감마를 고려하면 오른쪽 혹은 왼쪽으로 긴 꼬리의 분포를 갖는다. $df=\Delta dS+\frac{1}{2}\Gamma dS^2$이므로 $r_f=df/S$ 와 $r=dS/S$로 정의하면 다음과 같다.

$r_f = df/S = \Delta r+\frac{1}{2}S\Gamma r^2$

즉, $r_f$는 비대칭적인 분포이며 분포의 왜도와 첨도를 고려함으로써 보안할 수 있다. 코니시-피셔 확장식은 조정계수 $v$를 통해 보안하고 있다.

$v=\frac{1}{6}(z_{\alpha}^2-1)\rho_3+\frac{1}{24}(z_{\alpha}^3-3z_{\alpha})\rho_4-\frac{1}{36}(2z_{\alpha}^3-5z_{\alpha})\rho_3^2$

$\rho_3$와 $\rho_4$는 각각 왜도와 첨도를 의미한다.

$\tilde{z}_{\alpha} = z_{\alpha}+v$