DeepML. Neural Network - 1

scores function

$s = f(x; W) = Wx$
$s$는 score vector(output)이며 $x$는 input이다.

SVM loss

$L_i = \sum_{j \ne y_i} \text{max}(0, s_j - s_{y_i} + 1)$

data loss + regularization

$L = \begin{matrix} 1 \over N \end{matrix} \sum_{i=1}^N L_i + \sum_k W_k^2$

여기서 우리가 원하는 것은

최적의 loss를 갖게하는 파라미터 $W$를 찾는것이다.

Optimization

최적의 $W$를 찾는 것이다.

gradient가 음수인 방향, 즉 경사가 하강하는 방향을 반복적으로 구해 아래로 나아갈 수 있고, 가장 낮은 loss를 찾게 될 것이다.

[Vanilla Gradient Descent]

while True:
	weights_grad = evaluate_gradient(loss_fun, data, weights)
    	weights += -step_size * weights_grad

Gradient descent

• Numerical gradient : slow, approximate, easy to write
• Analytic gradient : fast, exact, error-prone

Computational graphs

임의의 복잡한 함수를 통해 어떻게 analytic gradient를 계산하는지에 대해 이야기 할 것이며, computational graph라는 기법을 사용할 것이다.

위의 예제는 input이 $x$, $W$인 linear classifier이다.

Computational graphs를 사용해서 함수를 표현하게 됨으로써 backpropagation이라고 부르는 기술을 사용할 수 있게 되며, backpropagation은 gradient를 얻기위해 computational graph 내부의 모든 변수에 대해 chain rule을 재귀적으로 사용한다.

Convolutional Network

[AlexNet]

[Neural Turing Machine]

Backpropagation sample example 1

eg. x=-2, y=5, z=-4

function f의 출력에 대한 어떤 변수의 gradient를 찾길 원한다.

우리는 $\partial{f}\over\partial{x}$,$\partial{f}\over\partial{y}$,$\partial{f}\over\partial{z}$ 을 구하고 싶다.

backpropagation은 chain rule의 재귀적인 응용이므로 뒤에서부터 시작한다.

$\partial{f}\over\partial{z}$

$\partial{f}\over\partial{q}$

$\partial{f}\over\partial{y}$

$f$가 $y$에 직접적으로 영향을 미치지 않으므로 미분식을 변경하여 나타냈다.

$\partial{f}\over\partial{x}$

$f$가 $x$에 직접적으로 영향을 미치지 않으므로 미분식을 변경하여 나타냈다.

정리

Backpropagation sample example 2

위 식에 sigmoid와 같은 함수를 씌울 수도 있다.

pattern in backward flow

위 노드들의 연산들을 간략하게 정리해보면 아래와 같다.

• add : gradient distributor
• max : gradient router
• mul : gradient switcher

이번 포스팅은 scaler 일 때의 경우이고 다음 포스팅은 vector일 경우의 연산을 알아보겠다.