[CV] Linear and Nonlinear Image Filtering, 이미지 필터링

1. Linear Filtering

1-1. Convolution

1-2. Linear Filtering

• Output은 Input의 weighted sum
• Shift Invariant : Output은 이미지 내에서 neighborhood의 position이 아닌 pattern에 의해 결정된다
  $g(i,j) = f(i+k,j+l)$ ⇔ $(h*g)(i,j) = (h*f)(i+k,j+l)$
• Image Filtering 과정에서 boundary effect를 없애기 위해 padding을 한다. ex) Zero, Wrap, Clamp, Mirror etc.

1-3. Examples

1. Smoothing
   

• $h(u,v) = exp(\frac{u^2+v^2}{2\sigma^2})$ Gaussian Filter로 Noise Reduction도 가능하다

2. Sharpening

• Original Image에서 smoothed/unsharp image를 빼는 방법으로 Sharpening 가능
  $g=f+\gamma(f-h_b*f)=(1+\gamma)f-\gamma(h_b*f)=(h_a-h_b')*f$
• $h_a-h_b'$ 라는 new Sharpening filter

3. Gradient
   

1-4. Separablity

• 2D filter를 2개의 1D filter (horizontal & vertical)로 separate한다면 time complexity가 $O(k^2)$에서 $O(k)$로 줄어든다
• $K=vh^{\top}$ ⇔ $K$ is a rank-1 matrix인 경우에 separable

2. Non-Linear Filtering

2-1. Median Filter

• 각 pixel의 neighborhood 중에 median 값을 select
• Pros : Effective to remove shot noise & Edge Preserving
• Cons : Slow & 하나의 Pixel 값만 반영
• Wighted median filter
  
• $\alpha$ trimmed mean filter : outlier 제거

2-2. Bilateral Filtering

• Neighboring pixel 값의 weighted combination
  

• Domain kernel : smoothiing (using distances)
  

• Range kernel : edge-preserving (using signal difference)
  

2-3. Morphology

• 주로 픽셀의 값이 0 또는 1로 표현되는 binary image에 적용되며 postprocessing에 이용된다.
• Structuring Elements : diamond, disk, octagon, rectangle etc.
• $\theta(c,t)$ : window 내의 1의 개수인 c가 특정 t보다 클 경우 살리고 작을 경우 없앤다.
  

2-4. Distance Transfom

• 어떤 픽셀 (i,j)로부터 0인 픽셀(background)까지의 최소한의 거리 (k,l)을 의미
• Distance metrics : Manhattan(city block) or Euclidean, 주로 전자
• 4 neighbor system이면 forward & backward 두번의 scan으로 계산, 8 neighbor일경우 4번 scan
  

2-5. Connected Component

• 같은 label을 가지는 인접한 pixel을 연결하여 하나의 region/component를 만든다.
• coloring : forward scan하면서 같은 값을 가지는 인접한 pixel을 같은 color로 한다.
  merging : 같은 label을 가지는데 서로 다른 color를 가지는 region을 merge한다.
  

요약

1. Linear Filtering

• Convolution
• Smoothing, Sharpening, Gradient filtering
• Separability

2. Non-Linear Filtering

• Median Filter
• Bilateral Filter
• Morphology
• Distance Transform
• Connected Component