벡터공간의 정의 및 기본적인 성질에 대해서 다룹니다.

사원수

학문적인 영역에서 상대적으로 감춰져 있는 사원수는 실제 응용 분야에서 꽤 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 유니티라는 게임 개발 플랫폼에서는 사원수를 사용해 3D 공간에서의 회전을 표현하고 계산합니다. 유니티의 공식 문서에 따르면, 유니티는 모든 회전을 사원수로 내부적으로 처리합니다. 그렇다고 해서 유니티를 사용하는 개발자들이 모두 사원수에 대해 전문 지식을 갖추고 있어야 하는 것은 아닙니다. 유니티의 인터페이스는 그럴 필요 없이 사용자가 직관적으로 회전을 지시할 수 있게 설계되어 있습니다. 예를 들어, "x축을 기준으로 30도 회전"이라는 명령을 내리면, 유니티는 이를 내부적으로 사원수 연산으로 변환하고, 그 결과를 3D 환경에서 보여줍니다.

사원수는 정말 이상한 개념입니다. 수학 역사적으로, 매우 중요한 발견임에 틀림없지만, (수학을 전문적으로 공부하더라도) 매우 만날 일이 없는 개념입니다. 왜냐하면 사원수는 복소수처럼 행렬을 통해 표현될 수 있기 때문입니다. 복소수$x+iy$를 회전행렬$\begin{bmatrix}x & -y \\ y & x\end{bmatrix}$로 일치 시킬 수 있는 것처럼, 사원수도 행렬로 표현할 수 있고, 그런 관점에서 사원수의 원래 표기를 전혀 쓰지 않는 방향으로 사원수 개념의 중요한 결과를 모두 얻을 수 있지요.

사원수의 발견은 수학의 세계에 큰 변화를 가져왔습니다. 사원수는 복소수를 넘어서는 새로운 형태의 숫자 체계로 시작되었습니다. 사원수는 그 자체로 흥미롭지만, 교환법칙이 성립하지 않는다는 특이한 성질을 갖습니다. 이렇게 다양한 성질을 가진 사원수는 수학자들에게 다른 원수들, 예를 들어 8원수, 16원수 등의 발견으로 이어졌습니다. 그리고 이러한 여러 원수들이 대수적 성질, 즉 일반적으로 수학에서 사용되는 기본적인 성질(결합법칙)을 만족시키지 않는다는 것이 밝혀졌습니다.

이러한 발견은 수학자들에게 수학적 대상을 정의하고 연구하는 방법에 대한 새로운 관점을 제공하였습니다. 단순히 특정 대상의 성질만을 연구하는 것이 아니라, 그 대상이 어떠한 대수적 또는 기하학적 구조에 속하는지를 파악하고 그 구조 자체를 연구하는 방향으로 전환되었습니다.

사원수는 여러 방법으로 해석될 수 있지만, 그 중 하나는 행렬의 관점에서입니다. 사원수의 곱셈을 행렬곱으로 표현할 수 있습니다. 이렇게 행렬로 해석하면, 사원수와 같은 복잡한 체계를 기존에 잘 알려진 구조인 행렬을 통해 쉽게 이해하고 다룰 수 있습니다. 그리고, 사원수들의 모임과 사원수를 행렬로 표현한것들의 모임에는 공통점이 있습니다. 그것은, 그들이 벡터 공간이라는 것 입니다. 이런, 관점에서 바라보면, 그것은 중요한 연결고리를 제공하게 됩니다.

벡터 공간은 선형 대수학의 기본적인 개념 중 하나이며, 여러 수학적 대상을 벡터로 해석하여 그들 사이의 관계나 연산을 파악하는 데 유용합니다.

요약하자면, 사원수는 처음에는 독특한 성질에 초점을 맞춰 연구되었지만, 다양한 비자명한 예시들이 등장함에 따라 추상적 구조의 중요성을 발견하게 되었습니다. 즉, 대수적 및 기하학적 구조의 중요성이 강조되게 되었고, 이는 수학자들이 수학 문제를 더 통합적이고 광범위한 방식으로 접근하는 데 큰 영향을 미쳤습니다.

벡터 공간

사원수의 모임은 스칼라 체가 $\mathbb{R}$인 벡터공간입니다. 이를, 증명하기 위해서는 서술할 벡터공간의 성질(axioms)를 모두 증명하면 됩니다.

벡터 공간(또는 선형 공간)은 스칼라와 벡터에 대한 연산들이 만족해야 하는 여러 가지 기본적인 규칙 또는 성질(axioms)을 갖습니다. 이러한 규칙들은 벡터 공간의 기본 구조를 정의합니다.

벡터공간에서 스칼라란, 단순히 벡터 앞에 곱할 수 있는 수입니다. 그리고, 벡터공간을 정의할 때는, 무엇이 스칼라가 될 수 있는지에 대한 이야기가 필요합니다. 예를들어서, 실수와 복소수는 스칼라가 될 수 있습니다. 그러나, 사원수는 스칼라가 될 수 없습니다. 왜냐하면 결합법칙이 성립하지 않기 때문입니다. 그리고 무엇이 체이고 아닌지의 명확한 기준은 대수학의 언어로 기술됩니다. 즉, 스칼라는 단순히 체(Field)의 원소입니다. 다시말해서, 벡터공간을 정의하기 위해서는, 먼저 체(filed)가 있어야합니다.

예를들어서, $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$는 체입니다. 그리고, $\mathbb{N}, \mathbb{Z}$는 체가 아닙니다.

예를들어서, 스칼라를 정수만 허용하여 얻은 공간 $V$는 벡터공간이 아닙니다. 왜냐하면, 정수들의 집합 $\mathbb{Z}$는 field가 아니기 때문입니다. 그렇다면, 체(field)의 정확한 뜻은 어떻게 될까요? 그것은, 한번 찾아보시기 바랍니다.

스칼라 체에 따라 스칼라가 달라집니다

벡터 공간을 정의할 때 어떤 스칼라 체를 사용하느냐에 따라 스칼라가 달라집니다. 스칼라 체란 스칼라, 즉 숫자가 가져야 하는 연산들을 정의해놓은 집합을 말합니다. 예를 들어, 실수를 스칼라 체로 사용하면 실수체 위의 벡터 공간이 형성되며, 복소수를 스칼라 체로 사용하면 복소수체 위의 벡터 공간이 형성됩니다.

스칼라체를 명시하고 비교할 때

벡터 공간을 정의할 때 사용하는 스칼라 체가 중요합니다. 스칼라 체를 명시하려면 보통 $(V, F)$와 같이 표기합니다. 여기서 $V$는 벡터들의 집합이며, $F$는 스칼라 체를 나타냅니다. 예를 들어, $(V, \mathbb{R})$는 실수 스칼라를 사용하는 벡터 공간을 의미하고, $(V, \mathbb{C})$는 복소수 스칼라를 사용하는 벡터 공간을 의미합니다.

다른 스칼라 체를 사용하는 벡터 공간은 서로 다른 개념

서로 다른 스칼라 체를 사용하는 두 벡터 공간은 서로 다른 개념입니다. 예를 들어, 실수 스칼라와 복소수 스칼라를 사용하는 벡터 공간은 서로 다른 성질을 가지며, 그들은 벡터의 생성, 독립성, 기저, 차원 등의 정의가 다릅니다.

스칼라 체를 바꾸는 경우: Complexification

우리는 직관적으로 실수 스칼라 체를 사용하는 벡터 공간은 언제나 복소수 스칼라 체를 사용하는 벡터 공간의 "작은 버전"으로 생각할 수 있습니다. (수학적으로는 엄밀히 말해, 이것은 부분공간이 아닙니다. 왜냐하면 스칼라 체가 다르기 때문입니다.) 이런 점에서, 우리는 실수를 스칼라 체로 사용하는 벡터 공간을 자연스럽게 확장할 수 있습니다. 이러한 개념을 Complexification(복소화)이라고 합니다. Complexification은 선형대수학에서 중요한 아이디어 중 하나입니다.

벡터공간의 정의

먼저, 무엇을 스칼라라고 부를지에 대한 명확한 기준 $F$ (체)가 필요합니다. 그리고, $F$가 주어지면, 벡터공간을 정의할 수 있습니다. 즉, 어떤 수학적 대상이 아래의 모든 조건을 만족하면, 그 수학적 대상을 벡터공간이라 부릅니다.

1. 덧셈에 대한 폐쇄성: 임의의 두 벡터 $u$와 $v$에 대해, $u + v$ 또한 벡터 공간 내에 존재합니다.
2. 덧셈의 결합법칙: 임의의 세 벡터 $u$, $v$, $w$에 대해, $(u + v) + w = u + (v + w)$입니다.
3. 덧셈의 항등원: 벡터 공간 내에 0벡터라고 하는 벡터 $0$가 존재하며, 임의의 벡터 $v$에 대해 $v + 0 = v$입니다.
4. 덧셈의 역원: 임의의 벡터 $v$에 대해, $-v$라는 벡터가 존재하며 $v + (-v) = 0$입니다.

만약, $V$가 위의 4가지 공리만 만족하면 (당연히, 그 원소를 벡터라고 부르지는 못하지만, 제 말이 무슨말인지 이해하리라 생각합니다.), 이 구조는 스칼라와 전혀 상관없는 대상이 됩니다. 그러한 대수적 구조를 가환군 (또는 아벨군)이라고 부릅니다. 그리고, 가환군$V$가 벡터공간이 되기 위해서는, 스칼라 (체의 기본 axiom을 만족)에 대해서, 다음을 만족해야 합니다.

5. 스칼라 곱에 대한 폐쇄성: 임의의 스칼라 $a$와 벡터 $v$에 대해, $a v$는 벡터 공간 내에 존재합니다.
6. 스칼라 곱의 분배 법칙(벡터에 대해): 임의의 스칼라 $a$와 두 벡터 $u$, $v$에 대해, $a (u + v) = a u + a v$입니다.
7. 스칼라 곱의 항등원: 임의의 벡터 $v$에 대해, $1 v = v$입니다, 여기서 1은 스칼라의 항등원입니다.
8. 스칼라 곱의 결합법칙: 임의의 두 스칼라 $a$와 $b$, 그리고 벡터 $v$에 대해, $a (b v) = (a b) v$입니다.
9. 스칼라 곱의 분배 법칙(스칼라에 대해): 임의의 두 스칼라 $a$와 $b$, 그리고 벡터 $v$에 대해, $(a + b) v = a v + b v$입니다.

벡터공간과 부분공간

벡터공간이란 무엇일까요? 특정한 연산(덧셈, 스칼라곱)을 할 수 있는 벡터들의 집합이라고 간단히 설명할 수 있습니다. 이 벡터공간 내에서, 일부 벡터들만을 모아서 또 다른 벡터공간을 형성하는 경우, 그 집합을 '부분공간'이라고 합니다.

예를 들어, 평면 내의 모든 선분들은 3차원 공간의 부분공간입니다. 이런 부분공간들은 각각의 특징과 성질을 가집니다. 그 중에서도 하나의 매우 중요한 성질이 있습니다. 바로 여러 부분공간들의 '교집합'이 항상 부분공간이라는 점입니다.

이 말을 좀 더 풀어서 설명하자면, 벡터공간 $V$ 내에 여러 부분공간 $V_\alpha$들이 있다고 가정해봅시다. 이런 부분공간들을 한데 모아서 표현하기 위해 $\{V_\alpha\}_{\alpha \in I}$라는 표기법을 사용합니다. 여기서 $I$는 'index set'이라고 부르며, 많은 부분공간들을 나열하기 위한 방법입니다.

이제 가장 중요한 부분입니다. 이 부분공간들의 교집합, 즉 모든 부분공간들에서 공통으로 포함되는 벡터들의 집합을 생각해보면, 그 집합 역시 부분공간의 성질을 가집니다. 간단한 예로, $V_1$ 과 $V_2$라는 두 부분공간의 교집합은 $V_1 \cap V_2$로 표현되며, 이 집합은 부분공간의 성질을 유지합니다. 더 나아가, $V_1, V_2, V_3, \ldots$와 같이 무수히 많은 부분공간들의 교집합도 마찬가지입니다.

하지만 이러한 성질을 증명하기 위해서는 (원칙적으로는) 벡터공간의 공리들을 모두 확인해주는 엄청나게 귀찮은 작업이 필요합니다. (전혀 어렵지 않습니다. 가능하다면 꼭 하고 넘어가시길... 그러면, 덧셈과 스칼라곱에 대한 폐쇄성 공리만 확인해 보여도 충분하다는 것이 이해될 것입니다. ) 그래서 여기서는 그 증명 과정은 생략하도록 하겠습니다.

여러 부분공간들의 '교집합'이 항상 부분공간이라는 사실은, 선형생성 Span $S$를 집합 $S$를 포함하는 가장 작은 벡터공간이라 정의할 수 있는 근거가 됩니다. 그리고 이 정의는 Span $S$의 존재성($S$를 포함하는 모든 벡터공간의 교집합을 하여, Span $S$를 얻습니다.) 과 유일성(가장 작다고 했으니깐요) 더나아가서, 그것이 벡터공간이라는 것을 드러내므로 상당히 유용합니다.

벡터 공간에서의 'span'

벡터공간에서, 'span'이란 어떤 벡터 집합 $S$가 주어졌을 때, 이 집합 안의 벡터들만 가지고 만들 수 있는 모든 벡터들의 집합을 말합니다. 다시 말해, 'span'은 $S$의 벡터들로만 만들 수 있는 "가장 작은" 벡터공간입니다.

예를 들어보겠습니다. 벡터 집합 $S$가 있을 때, 그 집합 안의 벡터들을 섞어서 벡터 $\bold v$를 만든다고 생각해봅시다.

$\bold v = \sum_{i\in I} a_i \bold b_i,$ (여기서 $S = \{\bold b_i \in I\}$.)

하지만, 중요한 점은 우리가 이렇게 벡터$\bold v\in \text{span} S$를 표현할 때
무한대로 더하지 않고 유한한 합으로, 수식이 기술되어야 한다는 것입니다. 는 것입니다. 다시 말해서, 위의 표현은 틀린 것이고, 반드시 다음 조건을 달아주어야 합니다.

유한한 수의 $i$들을 제외하고 모든 $i$에 대해서, $a_i=0$입니다.

유한 합 조건을 만족하며 이렇게 만든 벡터들$\bold v = \sum_{i\in I} a_i \bold b_i,$ $S = \{\bold b_i \in I\}$의 모음을 $( S)$라고 합시다. 그럼 이 $( S)$ 자체도 벡터공간이 됩니다. $S$를 포함하는 벡터공간은 언제나 $( S)$를 포함함이 너무나 명확합니다. 이것이 의미하는 것은 $S$의 'span'은 $( S)$와 완전히 같다는 것입니다.

간단히 말해서, 벡터들의 집합으로 다른 벡터들을 만들 때, 우리는 무한히 많은 벡터를 동시에 사용할 수 없습니다. 왜냐하면 그렇게 되면 그 결과가 어떤 것인지 명확하게 알 수 없기 때문입니다. 그리고 무한합이 의미있게 정의될 수 있는 특별한 경우라 할지라도, 일반적으로 무한합을 허용해서 $S$로 부터 얻은 벡터공간은 (가장 작은 벡터공간으로서의) span S와 다릅니다. (일반적으로 $\text{span} \ {S}$과 그것의 completion $\overline{\text{span} \ S}$이 다르다는 것을 이해해야합니다. )

선형독립

선형독립의 정의

벡터공간 $V$의 벡터들 $\bold{v_i}$의 유한 수열 $\bold{v_1},\ldots, \bold{v_n}$이 아래 조건을 만족할 때, 이 수열은 선형독립이라고 합니다:

임의의 스칼라들 $a_1, a_2, \ldots, a_n$에 대하여,
$a_1 \bold{v_1} + a_2 \bold{v_2} + \ldots + a_n \bold{v_n} = \bold{0}$ 이 성립한다면, 모든 $i$에 대해 $a_i = 0$이어야 합니다.

여기서 $\bold{0}$은 벡터공간 (V)의 제로 벡터입니다.

수열의 중요성을 이해하는 것은 중요합니다. 왜냐하면 수열은 순서와 중복된 원소를 가질 수 있기 때문입니다. 이 특성은 집합과는 다릅니다.

선형독립 집합 (linearly independent set)

집합 $S$의 모든 중복되지 않는 유한 부분수열이 선형독립일 때, $S$는 선형독립 집합이라고 합니다. 이는 각각의 유한 부분수열에 대해서 선형독립 여부를 검사해야 함을 의미합니다.

선형독립 집합의 성질

1. 선형독립 집합은 0벡터 $\bold 0$을 포함할 수 없습니다.
2. 집합 $S$가 선형독립집합이라면, 그것의 모든 부분집합도 선형독립입니다.
3. 공집합은 선형독립 집합입니다.

순서기저의 정의

유한 수열 $\bold b_1,\ldots, \bold b_n$이 기저의 조건을 만족하면, 이 수열을 순서기저라고 합니다. 대부분의 경우, 이러한 표현을 따로 사용하지 않고 그저 기저라고 합니다. 그 이유는 대부분의 맥락에서 기저는 순서기저를 의미하기 때문입니다.

예를 들어, 행렬표현 $[T]_\beta$는 기저 $\beta$를 사용합니다. 그러나, 이 맥락에서의 $\beta$는 기저 벡터들의 수열입니다. 왜냐하면 기저벡터를 나열하는 순서가 바뀌면, 행렬표현도 바뀌기 때문입니다.

기본정리

기저의 존재성은 선택공리 (그리고 그것과 동치인 Zorn's Lemma)를 이용해서, 증명합니다. 그럼, Zorn's Lemma는 어떻게 증명하냐구요? 정말 이상한 것은, 대부분의 (집합론같은거 말고는) 수학책에서 Zorn's Lemma를 증명하지 않는다는 것입니다. 진실은 이렇습니다. Zorn's Lemma를 부정하면, 어떤 벡터공간은 기저를 가지지 않음을 얻습니다. 그러니깐, 모든 벡터공간이 기저를 가진다와 Zorn's Lemma는 동치입니다. 뭔가 순환논법같아 보이는 이 상황은, 수학의 기초와 관련이 있습니다. 그러니깐, Zorn's Lemma, 벡터공간의 기저 존재성, 더 궁극적으로는 선택공리 (그리고 선택공리와 동치인 모든 명제)에 대해서, 그것을 참이라하는 것과, 거짓이라하는 것이 서로 독립적인 것, 다시말해서 선택공리를 (동치적으로, 기저의 존재성을) 참이라 받아들일지 말지는 우리의 자유이고 각 선택의 결과는 서로 다른 공리체계가 됨이 알려져 있습니다.

The Axiom of Choice can be neither proved nor disproved from the axioms of Zermelo-Fraenkel set theory.

정의-1 벡터공간 $V$의 부분집합 $S$에 대해서, $\text{span}(S)=V$이고, $S$가 선형독립이면 $S$를 $V$의 기저라고 합니다.

정의-2 벡터공간 $V$의 부분집합 $S$에 대해서, $\text{span}(S)=V$이고, $S$의 proper한 부분집합 $T\subsetneq S$에 대해서, $\text{span}(T)\subsetneq V$이면, $S$를 minmal spanning set이라 부릅니다.

정의-3 벡터공간 $V$의 부분집합 $I$에 대해서, $I$가 선형독립이고, $I\supsetneq J$에 대해서, $J$는 선형독립이 아니면, $I$를 Maximal Independent set이라 부릅니다.

정의-1 정의-2 정의-3은 모두 동치(서로 서로 같은 말이라는 뜻)입니다. 예를들어서 만약, 어떤 집합 $S$가 기저라고 합시다. 그러면, $S$는 minmal spanning set이고 Maximal Independent set입니다.

기본정리 모든 벡터공간 $V$는 기저 $S$를 가집니다.

증명 아이디어 Zorn's Lemma를 이용하여, maximal independent set이 존재함을 보입니다.

간단히 요약하자면:

• 모든 벡터공간은 기저를 가진다는 주장은 Zorn의 보조 정리를 통해 보일 수 있습니다.
• 모든 벡터공간은 기저를 가진다는 주장은 선택공리를 제외한 수학의 다른 기초 공리들에서 증명될 수 없습니다.
• 어떤 벡터공간은 기저를 가지지 않는다는 주장 역시 선택공리를 제외한 수학의 다른 기초 공리들에서 증명될 수 없습니다.
• 선택공리의 부정은 어떤 벡터공간은 기저를 가지지 않는다는 주장을 도출합니다. (제외한다는것과 부정한다는 것은 다릅니다!)
• 기저, minimal spanning 집합, maximal independent 집합은 모두 동치적인 개념입니다.

차원의 유일성

차원의 유일성에 대한 직관적 이해

벡터공간은 그 공간을 형성하는 벡터들의 집합입니다. 그리고 이 벡터들은 다양한 방법으로 조합될 수 있지만, 그 중에서도 특히 중요한 집합이 있는데, 그것은 바로 '기저'입니다. 기저는 벡터공간의 모든 벡터를 형성할 수 있는 최소한의 벡터 집합을 의미합니다.

기저의 '크기'를 그 벡터공간의 '차원'이라고 정의합니다. 즉, 기저에 속하는 벡터의 개수가 그 벡터공간의 차원이 되는 것입니다. 예를 들어, 우리가 일상에서 사용하는 3차원 공간에서는 세 개의 단위벡터로 모든 벡터를 표현할 수 있습니다. 따라서, 이 3차원 공간의 차원은 3입니다.

이제 여기서 중요한 질문이 하나 생깁니다. 벡터공간에 여러 기저가 있다면, 그 기저들의 크기, 즉 원소의 개수는 모두 동일한가요? 다시 말해, 어떤 벡터공간의 차원은 그 공간의 기저에 따라 달라질 수 있는가요?

먼저, 당연한 문장을 소개하도록 하겠습니다. (논리적으로, 아래 두 문장은 완전히 똑같은 말입니다. )

• 벡터공간$V$의 두 기저 $A,B$에 대해서 다음이 성립합니다. $A$가 무한집합이면, $B$도 무한집합이다.

• 설명 벡터공간에서 한 기저의 크기(또는 원소의 개수)는 그 공간의 차원을 결정합니다. 만약 한 기저가 무한하다면, 그 벡터공간의 차원도 무한할 것이고, 그렇게 되면 다른 모든 기저들도 그 차원을 맞추기 위해 무한의 원소를 가져야만 합니다.

• 벡터공간$V$의 두 기저 $A,B$에 대해서 다음이 성립합니다. $A$가 유한집합이면, $B$도 유한집합이다.

• 설명 벡터공간의 차원이 유한하다는 것을 의미합니다. 따라서 다른 기저들도 그 차원에 맞추기 위해 동일한 수의 원소를 가져야만 합니다

두 설명 모두 벡터공간의 차원의 유일성을 가정하여 설명하였습니다. 이는 벡터공간 내에서 어떠한 기저를 선택하더라도 그 기저의 원소의 개수, 즉 차원,은 동일해야 함을 의미합니다. 이렇게 가정된 차원의 유일성은 수학적인 내용을 이해하는 데 있어 중요한 기본 개념 중 하나입니다.

하지만, 이 가정을 받아들이지 않고 단순히 두 기저 중 하나가 무한집합이라는 사실만으로 다른 기저도 무한집합임을 알 수 있을까요? 또는, 한 기저가 유한집합이라는 것만으로 다른 기저도 유한집합임을 확신할 수 있을까요?

차원의 유일성 증명

보조 정리 벡터공간$V$의 두 기저 $A,B$에 대해서 다음이 성립합니다. $A$가 무한집합이면, $B$도 무한집합입니다.

증명 $B$의 원소 $\bold b$는 유일한 방법으로 다음과 같이 표현됩니다.
$\bold b = k_1 \bold a_1 + \ldots + k_r \bold a_r$ 여기서, $\bold a_i\in A, \ k_i\ne 0$.
함수 $F:B\to \mathcal{P}(A)$를 다음과 같이 정의합시다.
($\mathcal{P}(A)$는 $A$의 모든 부분집합들의 집합입니다.)
$F(\bold b) = \{ \bold a_1,\bold a_2,\ldots, \bold a_r\}$, (여기서 자연수 $r>0$은 $\bold b$에 의존합니다.)

$\bigcup_{\bold b \in B}F(\bold b)=A$를 보이기 위해서,$A \subseteq \bigcup_{\bold b \in B}F(\bold b)$를 보이도록 하겠습니다. (반대방향 포함관계는 당연합니다) 벡터 $\bold a\in A$라 합시다. $B$가 기저이기 때문에, $\bold a= \alpha_1 \bold b_1 +\ldots + \alpha_s \bold b_s$로 표현이 가능하고 각각의 $\bold b_i$들은 $F(\bold b_i)\subseteq \bigcup_{\bold b \in B}F(\bold b)$에 속하는 벡터들의 선형결합으로 표현이 가능합니다. 따라서, $\bold a$는 $\bigcup_{\bold b \in B}F(\bold b)$의 선형결합으로 표현이 가능합니다. 만약 $\bold a \not\in \bigcup_{\bold b \in B}F(\bold b)$이면, $\{\bold a \} \cup \bigcup_{\bold b \in B}F(\bold b)$이 선형독립임에 모순입니다. 왜냐하면 서로다른 두가지 선형결합 방법이 생겨버리기 때문입니다.

• $\bold a=\bold a$
• $\bold a=$ $\bigcup_{\bold b \in B}F(\bold b)$의 선형결합

따라서 $\bold a \in \bigcup_{\bold b \in B}F(\bold b)$입니다. 이것은 임의의 $\bold a \in A$에 대해서, 성립하므로 $A \subseteq \bigcup_{\bold b \in B}F(\bold b)$라는 결론입니다.

만약 $A$가 무한집합이고 $B$가 유한집합이면 모순이 발생합니다. 왜냐하면, $\bigcup_{\bold b \in B}F(\bold b)=A$의 좌변은 유한집합이고 우변은 무한집합이기 때문입니다. 따라서, 보조 정리가 참입니다.

따름정리-1 벡터공간$V$의 두 기저 $A,B$에 대해서 다음이 성립합니다. 만약 $A$가 무한집합이면 $A$와 $B$의 크기(Cardinality)가 같습니다.

두 집합 $A$와 $B$의 크기가 같다는 것은 $A$에서 $B$로의 일대일 대응이 가능하다는 의미입니다. 그러한 집합들을 동일한 크기를 가진다고 합니다. 예를 들어, 음이 아닌 짝수의 집합 $E$와 자연수의 집합 $N$은 같은 크기를 가지는데, 함수 $f(n) = 2n$이 $N$에서 $E$로의 일대일 대응을 제공하기 때문입니다. 유한 집합 $A$와 $B$의 경우, $A$가 $B$의 진부분집합이면 일대일 대응이 존재할 수 없지만, 무한집합의 경우 그렇지 않을 수 있습니다.

증명 보조 정리 증명에 조금의 논리를 더 추가하는 방식으로 증명합니다. 즉, 보조정리 증명에 쓰인 함수 $F:B\to \mathcal{P}(A)$를 이용합니다. 먼저 모든 $\bold b \in B$에 대해서, $F(\bold b)$가 공집합일수 없음을 확인합니다. $A$ 또는 $B$가 무한집합이면, 무한집합의 성질에 의해서 $\bigcup_{\bold b \in B}F(\bold b)$은 $B$의 크기(Cardinality)보다 작거나 같습니다. 따라서, $\bigcup_{\bold b \in B}F(\bold b)=A$에 의하여 $A$에서 $B$로 가는 일대일 (injective) 함수가 존재합니다.

무한집합의 성질 일반적으로, index set $I$에 대해. 정의된 합집합 $\bigcup_{i \in I} A_i$에 대해서, 다음이 성립합니다. 만약, $I$가 무한집합이고 모든 $i\in I$에 대해서 $A_i$가 공집합이 아닌 유한집합이면, $\bigcup_{i \in I} A_i$은 $I$의 크기(Cardinality)보다 작거나 같습니다. 다시말해서, $\bigcup_{i \in I} A_i$에서 $I$로 가는 일대일 함수가 존재합니다. 이 사실은, $\bigcup_{i \in I} A_i$에서 $I\times \mathbb{N}$로 가는 1대1함수의 존재성과 $I$가 무한 집합이면, $I\times \mathbb{N}$에서 $I$로 가는 1대1함수가 존재한다는 사실로부터 증명합니다.

보조정리에 의해서, $B$도 무한집합입니다. 그래서, $A$와 $B$의 역할을 바꾸어서, 논리를 다시 적용할 수 있습니다. 그러면, $B$에서 $A$로 가는 1대1함수가 존재함을 얻습니다. 기수(cardinal numbers)의 반대칭성(Bernstein theorem)에 의해서, $A$와 $B$의 크기(Cardinality)는 같습니다.

기수(Cardinal number)의 반대칭성 : 만약, 집합 $A,B$에 대해서 1대1함수 (injective, 단사) $f:A\to B$와 $g:B\to A$가 존재하면, 1대1대응함수 (bijective) $h:A\to B$가 존재한다.

무한집합의 성질 증명

제 생각에 집합론을 배워야 하는 이유는 무한 집합에 대한 깊은 고민을 통해서만 무한집합의 성질들이 당연하게 느껴지기 때문입니다. 즉, 집합론은 무한 집합에 대한 깊은 통찰을 제공하며, 이로 인해 우리의 수학적 직관이 확장되고 성장하게 합니다. 예를들어서, 유한집합을 유한번 합집합하면 그 결과가 유한집합일 수 밖에 없다는 원시적인 직관만 가진 사람이 유한집합을 Countablly 많이 합집합한 결과가 Countable 집합일 수 밖에 없다는 것을 당연하게 받아들이게 되는 식입니다. 같은 이유로, $\bigcup_{i \in I} A_i$이 $I$의 크기보다 커질 수 없다는 것도 당연합니다. (그래서, 이런데서 증명찾아보면, 논리적 점프가 엄청 많아요. 이해도가 엄청 높은 사람이 적은지라, 당연해 보이는것은 뛰어넘거든요)

우리의 목표는 $\bigcup_{i \in I} A_i$에서 $I$으로 가는 단사함수( injective)를 찾는 것입니다. 그리고 그 목적의 달성을 위해서, 전사함수 $f: I \times \mathbb{N} \to \bigcup_{i \in I} A_i$를 먼저 찾습니다.

1. 전사함수 $f$의 정의:
   우리는 함수 $f: I \times \mathbb{N} \to \bigcup_{i \in I} A_i$를 다음과 같이 정의합니다:

   • 각각의 $i \in I$에 대해서, $A_i$의 원소들을 $f(i,1), f(i,2), \ldots, f(i,n_i)$로 순차적으로 매핑합니다.
   • 만약 $n > n_i$라면, $f(i,n)$은 $f(i,n_i)$와 동일하게 정의됩니다. 이는 함수$f$의 존재성을 보장하기 위한 장치입니다.

2. 함수 $f$의 전사성:
   $f$가 전사함수임은 $f$의 정의에서 분명합니다.

3. 단사함수 $h$의 존재성:

   전사함수 $f: I \times \mathbb{N} \to \bigcup_{i \in I} A_i$의 존재성으로부터, 단사함수 $h: \bigcup_{i \in I} A_i \to I\times \mathbb{N}$가 존재합니다. 직관적으로 매우 당연합니다만, 그 자체로 매우 심오한 주제입니다. 선택공리를 가정해서, 다음과 같이 증명합니다. 아래 그림에 맞도록, $f$의 정의역을 $S$ 그리고 공역을 $T$라 합시다. (Source 그리고 Target의 약자) 다시말해서, $f:S\to T$가 전사함수라 합시다. 그리고 preimage(역상)을 통해 공집합이 아닌 집합 ${f^{−1}(y)}:=\{x \in S : f(x)=y\}$를 생각해보겠습니다. 여기서 선택공리를 사용하면, 모든 $y \in T=\bigcup_{i \in I} A_i$에 대해서 $g(y) \in {f^{−1}(y)}$을 만족하는 함수 $g:T\to S$ (즉, $g: \bigcup_{i \in I} A_i\to I \times \mathbb{N}$)가 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 결국, 이는 $(f \circ g)(y) = y$를 만족하게 됩니다. $f \circ g$가 단사 (injective)이므로, $g$도 단사입니다. (여기서 $g$가 단사임은, 단사 함수의 정의에 의해 바로 도출됩니다.)
   

4. $I\times \mathbb{N}$에서 $I$로 가는 일대일대응 함수 존재: 중요한 "트릭"은 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$와 $\mathbb{N}$ 사이에 1대1 대응이 있다는 것을 인지하는 것입니다. 이것을 $\psi:\mathbb{N} \times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 라 합시다. (아래 그림처럼 구성한 경우 $\psi(4,2)=14$가 됩니다.) 무한 집합$I$에는 언제나 가산무한집합 $X\subseteq I$가 존재합니다. (다시 말해서, 부분집합 $X$와 일대일대응함수 $\phi_X: X\to \mathbb{N}$이 존재합니다. ) 그러면, $\psi:\mathbb{N} \times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$를 이용해서 다음과 같은 일대일 대응을 구성할 수 있습니다.
   $f_X:X\times \mathbb{N}\to X$, $f_X(x,n)=\phi_X^{-1}\left(\psi(\phi_X(x),n)\right)$ 한편, Zorn's lemma에 의하면, $X$를 포함하는 집합 $J$가 있어서 $J$와 $J\times \mathbb{N}$에 일대일 대응 $\overline{f}:J\to J\times \mathbb{N}$가 존재하고, 다음이 성립합니다.
   $\overline{f}|_X = f$ 그리고, $I-J$는 유한집합이다. $I$가 무한집합이고 $I-J$가 유한집합이라는 가정 하에
   $I$와 $J$사이에 일대일대응이 있음을 보이는 것은 여러분께 맡기도록 하겠습니다. 그리고 이 사실은, 자연스럽게 $J\times \mathbb{N}$와 $I \times \mathbb{N}$ 사이에 일대일대응이 있다는 결론을 만듭니다.
   정리하면, $I\approx J \approx J\times \mathbb{N} \approx I\times \mathbb{N}$인 것으로부터 $I\approx I\times \mathbb{N}$가 성립합니다. (여기서 기호 $\approx$는 둘 사이의 일대일 대응이 있다는 의미입니다.)

5. 결론도출하기 단사 함수 $h: \bigcup_{i \in I} A_i \to \mathbb{N}$와 $I\times \mathbb{N}$에서 $I$로 가는 일대일대응함수를 합성하여 ($f$라 합시다) $f\circ h: \bigcup_{i \in I} A_i \to I$라 하면, $h$가 단사이므로 단사함수입니다.

(4.) $X$를 $J$로 확장하는 것은, Zorn's Lemma가 필요합니다. [여기서, $J$는 $I$와 크기가 같은 집합입니다.] 사실은 그런 확장이 가능함은 직관적으로 매우 당연하게 여겨집니다. $I$를 서로 곂치지 않는 가산무한집합(즉,자연수집합과 같은 크기의 집합)들로 나누고, 즉, $J=X_1\cup X_2 \cup \cdots$ 이고, $X_i \cap X_j = \empty$ 이 되도록 하고 각각의 $X_i$에 대해서 일대일대응 $f_i:X_i \to X_i\times \mathbb{N}$를 정의하고, $x$가 $X_i$에 속할 때마다 $\overline{f}(x)= f_i(x)$라고 정의한다면, 분명히 처음에 시작한 $X$보다 더 큰 집합$J$으로 $f:X\to X\times \mathbb{N}$를 확장 할 수 있으니깐요 그러나 직관과 달리, 이런 종류의 문장은 반드시 Zorn's lemma를 이용한 증명이 필요합니다. 예를들어서, 처음에 제시한 방법은 틀렸습니다. ($I$가 비가산집합인 경우에 대해) $X$를 서로 겹치지 않는 가산개의 부분집합 $X_1, X_2, \ldots$으로 나누는 방법으로는 비가산집합으로의 확장을 이룰 수 없기 때문입니다.) 이제, 집합 $S$를 $I$의 부분집합$X$들의 집합과 $I$에서 $I\times \mathbb{N}$으로 가는 함수 $f:I\to I\times\mathbb{N}$들의 집합의 데카르트곱 $\Omega=\mathcal{P}(I)\times(I\times \mathbb{N})^I$에 대해서 다음과 같이 정의합시다.
$S=\{(X,f)\in \Omega : \text{함수 }f|_X:X\to X\times \mathbb{N} \text{는 일대일대응입니다.}\}$, 여기서 $f|_X$는 $f$의 정의역을 $X$로 제한한 함수를 뜻합니다.
그리고, $S$에 대해서, 다음과 같이 equivalent relationship을 줄 수 있습니다.
$(X,f) \sim (Y,g) \iff X=Y \ \text{and} \ f|_X = g|_Y$
$S/\sim$의 원소 $[(X,f)]$ (즉, $(X,f)$의 동치류)를 단순히 $f_X$라 표기합시다.
$S/\sim$에 다음과 같이 partial order를 줍시다.
$f_X \preceq g_Y \iff X\subseteq Y \ \text{and} \ \forall f \in f_X , \forall g\in g_Y, f|_X = g|_X$
임의의 사슬 $\{f_X: X \in \mathcal{X}\}$에 대해서, (여기서 $\mathcal{X}$는 예를들어 다음과 같은 모양새의 집합이겠지요. $\mathcal{X}=\{X_1,X_2, \ldots\}$ , $X_1 \subseteq X_2 \subseteq \cdots$ 근데, 엄밀히 말해서 사슬은 자연수같은 구조가 아닐 수 있어요.. 그래서, 수열형태로 적지 않습니다.)
다음과 같이 정의합시다.
$Y = \bigcup \mathcal{X}$ 즉, $\mathcal{X}$에 속한 집합을 모두 합집합 합니다.
$g:Y\to Y\times \mathbb{N}$은 다음과 같이 정의된 함수입니다.
$x \in X \in \mathcal{X}$ 그리고 $f_X \in \{f_X, X \in \mathcal{X}\}$이면, $g(x) = f(x)$
그러면, $g$는 잘 정의된 함수이고, $g : Y \to Y \times \mathbb{N}$는 일대일대응입니다. 따라서, $g_Y$를 집합 $Y$위에서의 함수값이 $g$와 일치하는 함수의 모임이라 하면, $g_Y\in S/\sim$입니다. 그리고 체인 $\{f_X : X \in \mathcal{X}\}$의 임의 원소보다 $g_Y$가 크거나 같습니다.
이제, Zorn's Lemma를 $S/\sim$에 대해 적용하여, 극대 원소 $h_J$를 뽑습니다. 만약, $J=I$이면 증명이 끝납니다. 만약, $J\ne I$라고 합시다. 그러면, 차집합 $I - J$은 유한집합입니다. ($I - J$가 무한 집합이면, 가산 무한 부분 집합 $Z \subset I-J$와 $Z$와 $Z\times \mathbb{N}$의 일대일 대응이 존재함을 이용하여, $J$를 $J\cup Z$로 확장할 수 있고, 이는 극대성에 모순입니다.)

따름 정리-2 벡터공간$V$의 두 기저 $A,B$에 대해서 다음이 성립합니다. 만약 $A$가 유한집합이면 $B$도 유한집합입니다.

증명 $A$가 유한집합이라 가정합니다. 만약 벡터공간 $B$가 무한집합이면, 보조 정리에 의해서, $A$도 무한집합입니다. $A$가 유한집합이면서, 무한집합일 수 없으므로, 벡터공간 $B$가 무한집합인 것은 불가능합니다. 따라서, 벡터공간 $B$는 유한집합입니다.

정리 벡터공간$V$의 두 기저 $A,B$에 대해서 다음이 성립합니다. $A$와 $B$의 크기가 같습니다.

증명 보조정리와 따름정리들에 의해서, 두 기저가 모두 유한집합인 경우에 대해서만 증명하면 충분합니다. 이것을 독자에게 맡깁니다.