이 기초선형대수학 시리즈에서는 모든 주장이 이전에 적힌 글을 근거로 삼아 진행하려 노력합니다. 실제로 모든 내용을 완전히 새롭게 풀어서 쓰는 것은 아니지만, 특정 참고자료나 책의 내용을 그저 받아들이는 방식은 피하려 합니다. 그렇지만, 모든 세부 내용을 완전히 다루기는 어렵기 때문에 일정 수준의 선수지식을 요구하게 됩니다.

Motivation

정말로 (불편함 없어질때 까지 고민하고) 이해하는 것은 매우 어렵습니다.

제가, 이 시리즈를 시작한 계기는 <스펙트럴정리 다시 보기>이런 제목과 어울리는 이런 느낌의 짧은 글을 적고자 함이었습니다. 글의 소스들은 과거에 한 통계스터디를 계기로 적은 것들에서 가져오려고 했기 때문에 어렵지 않으리라 봤습니다. 그러니깐, 애초에 (스터디에서) 스펙트럴정리는 그렇게 중요한 내용은 아니었습니다. 공부 주제도 아니고, 도구?같은 느낌이었습니다. 단, 증명까지 도달하기 힘든...!

그런데, 스펙트럴 정리까지의 과정을 적기 전에 고민하면, 고민할 수 록, 기초적인 것들을 정리하는 것에 대해서 욕망이 올라오더라구요. 그래서 기초선형대수시리즈가 탄생했습니다.

저는 포스팅을 하기 위한 고민을 하면서 다음과 같은 것을 느낀 것이 어쩌면 기초적인 것들을 정리하고자하는 이유인 것 같습니다.

이거... 전혀 당연하지 않다.

이 시리즈에서는, 스펙트럴정리를 정말로 증명할 것입니다. 그러나 이렇게 놀라움을 느끼게 된 이유를 조금 풀어서 적어 기록하는 것이 이 시리즈를 적은 진정한 동기 입니다.

복소수

대수학의 기본 정리 : 복소수를 계수로 하는 다항식은 반드시 복소수 근을 가집니다.

복소수 $i \in \mathbb{C}$의 존재를 생각해봅시다. 사실, $i$가 '가상의 수'라는 레이블이 부착된 것은 약간의 오해가 있다고 생각합니다. 여기서 제가 주장하고자 하는 것은:

복소수는 자연스러운 수학적 확장이다. 다른 문명이나 지식체계에서도 수학을 연구한다면, 복소수체는 그들의 수학 체계에서도 필연적으로 발견될 것이라는 것이다.

이 주장을 지지하는 방향으로 생각을 해보겠습니다.

기본적인 수학의 체계는 자연수와 그 대소관계로부터 시작됩니다. 예를 들어, $2<5$ 또는 $1+1=2$ 같은 것들 말이죠. 이러한 관계나 수치는 어떤 문화, 어떤 문명에서든 기본적으로 공감받을 수 있을 것입니다. 그리고 정수, 유리수도 이러한 자연수의 확장으로 볼 수 있습니다.

수학 개념의 확장을 그래픽으로 표현한다면 제시한 이미지처럼 될 것입니다.

참고 : 네이버캐스트-대수학의 기본 정리 및 책과 블로그 (다, 같은 사람이 적은거에요.)

대수학의 기본정리가 정리가 되기 전의 수학세계는 다음과 같습니다.

• 유클리드의 기하학: 약 BC 300년경에 유클리드는 "원론"을 저술하며 체계적인 기하학의 기초를 세웠습니다.

• 알-하와리즈미의 대수학: 9세기에 작성된 "Al-Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wal-Muqabala"는 대수학의 초석을 다졌습니다. 이 작품에서 '알-자브르(Al-Jabr)'라는 용어는 오늘날 '대수(Algebra)'라는 단어의 기원이 되었습니다.

• 페르마의 마지막 정리: 1637년, 페르마는 페르마의 마지막 정리를 제시했으나 증명 없이 떠났고, 그 증명은 1994년에 완성됩니다.

• 뉴턴과 라이프니츠의 미적분학: 1600년대 말, 뉴턴과 라이프니츠는 독립적으로 미적분학의 기초를 세웠습니다. 이로써 연속성과 변화의 수학적 이해가 깊어졌습니다.

• 가우스: 대수학의 기본정리, 산술의 기본정리의 증명, 합동식의 발명, 저서 정수론, 소행성 세레스의 추적과정에서 최소제곱법 발명, 생전에 미발표 되었던 비유클리드 기하학 입증, 미분기하학의 기초인 가우스의 빼어난 정리 등의 업적을 남겨 수학의 왕이라는 칭호를 얻었습니다.

• 푸리에의 해석: 1800년경, 푸리에는 열의 이론과 관련된 연구를 통해 주기적인 함수를 삼각함수의 급수로 표현하는 방법, 즉 푸리에 급수를 발견했습니다. 이것은 해석학의 한 분야인 푸리에 해석의 기초가 되었습니다.

사실, 대수학의 기본정리의 증명 (즉, 모든 다항식은 근을 가진다는 내용 :: 복소수체는 대수적으로 닫혀있다)에 대한 가우스의 초기 시도들은 현대 수학의 엄밀한 잣대에 따르면 완벽하지 않았음이 알려져 있습니다. 당시 수학자들이 복잡한 문제를 다룰 때, 현대의 엄밀한 증명 기법이나 개념 체계가 완벽하게 구축되지 않았기 때문에, 많은 문제와 증명에는 구멍이 있을 수 있었습니다. 대수학의 기본 정리 같은 근본적인 수학 문제들에 대해서 당시의 수학적 지식만으로는 완벽한 증명을 제시하기 어려웠습니다.

다음은 당시 수학 세계에서 대수학의 기본정리의 증명과 관련한 상황입니다.

1. 당연한 것들: 예를 들면, 다항함수가 연속함수라는 것, 만약 $\alpha$가 다항식의 근이면 그 다항식은 $x-\alpha$를 인수 가져야 한다는 것, 홀수차 다항식은 항상 실근을 가져야 한다는 것(그래프 그려서 보면 알수있죠) 등의 성질들입니다.

2. 조금의 논증들을 통해 얻을 수 있는 것들: 복소수의 기본적인 성질들, 예를 들면 복소수의 제곱근이 복소수라는 것, 복소수 계수의 이차방정식의 근이 복소수라는 것 등이 여기에 포함됩니다.

3. 실수계수 다항식이 항상 복소수 근을 가짐: Euler, de Foncenex, Lagrange, 그리고 Laplace는 대수학에 대한 깊은 통찰을 바탕으로 대수학의 기본 정리를 증명하려 했습니다. 그 통찰(Girard's assertion)을 현대적인 언어로 해설하면, 체 $F$ 위에서 정의된 비가약 다항식(irreducible polynomial) $p(x)$에 대해, $F$를 확장한 체 $E$가 존재해서, $p(x) = a_n(x-\alpha_1) \ldots (x-\alpha_n)$으로 표현될 수 있습니다. (여기서, $\alpha_i \in E$ 하지만 이러한 접근 방식은 완벽하게 엄밀하지 않았습니다.

4. 복소수 다항식이 항상 복소수 근을 가짐: 실수계수 다항식의 복소수 근의 존재를 가정하면, 대수학의 기본정리의 증명은 당시의 수학자들에게 상대적으로 간단하게 보였을 수 있습니다.

5. 당시의 상황: 당시 수학자들의 대수학의 기본정리 증명 접근법은 일종의 순환논증을 포함하고 있었습니다. 특히 오일러의 증명과 같이 (복소수가 아닐 수 있는) 근의 존재를 가정하고 그 근이 복소수임을 증명하는 방식은 엄밀한 증명에서는 부족함이 있었습니다.

19세기에, 체의 확장, 근의 존재, 그리고 다항식의 인수분해에 관한 현대적인 이해를 바탕으로 진정한 엄밀한 증명이 제시되었습니다. 이러한 발전은 대수학, 그리고 복소해석학의 발전과 밀접하게 연관되어 있었습니다.

요약하면 현대적인 관점에서 보면 완벽하지 않았지만, 그들의 통찰력과 아이디어는 대수학의 기본 정리에 대한 현대적인 이해의 기반이 되었습니다.

켤레복소수

체$F$에서 $F$로 가는 함수 중 일부는 매우 특별한 성질을 가지고 있습니다. 이러한 특별한 함수들 중 자기동형사상(automorphism)이라 부르는 것들은, 연산 구조를 보존합니다.
자기동형사상의 예로는 켤레 복소수 매핑이 있습니다. 복소수 $a + bi$를 그 켤레 $a - bi$로 매핑하는 것은 복소수체의 자기동형사상 중 하나입니다.
자기동형사상은 단순한 함수처럼 보이지만, 그 안에는 깊은 수학적 구조와 통찰력이 숨어 있습니다. 이러한 통찰력은 수학의 핵심적인 부분을 이해하는 데 중요한 열쇠입니다.

복소수는 실수와 허수의 합으로 나타낼 수 있으며, $a + bi$ (여기서 $a$와 $b$는 실수, $i$는 허수 단위)의 형태로 표현됩니다. 복소수의 켤레(complex conjugate)는 복소수의 허수 부분의 부호를 바꾼 것입니다.

즉, 복소수 $z = a + bi$ (여기서 $a$와 $b$는 실수)에 대하여, $z$의 켤레복소수는 $a - bi$입니다. 이 켤레복소수는 주로 $z^*$나 $\bar{z}$로 표기됩니다.

두 복소수 $z$와 $z^*$의 합과 차, 그리고 곱을 구하면 다음과 같은 특징들을 볼 수 있습니다:

1. $z + z^* = 2a$
2. $z - z^* = 2bi$
3. $z \times z^* = a^2 + b^2$ (여기서, $i^2 = -1$ 를 사용)
4. $z^{**} = z$ (복소수의 켤레의 켤레는 원래의 복소수입니다.)

켤레복소수의 개념은 복소수의 절댓값을 구하거나 복소수 분수를 표준 형태로 변환할 때 유용하게 사용됩니다.

갈루아 이론 한 스푼

사실, 기초선형대수시리즈 공부에 필요없긴 해요. 근데, 한 스푼 정도는 괜찮죠?

갈루아 이론은 대수학의 한 분야로, 다항식의 해와 관련된 대수적 구조를 깊게 탐구합니다. 이론의 이름은 19세기의 프랑스 수학자 에바리스트 갈루아에게서 왔는데, 그의 짧은 생애 동안 그는 이 분야에서 획기적인 결과를 남겼습니다.

갈루아 이론의 핵심은 '다항식의 해의 대수적 특성을 자기동형사상들의 군 구조(group)로 표현할 수 있다'는 것입니다. (그래서, 갈루아 이론까지 배우면, Normal subgroup, Solvable group등의 용어가 왜 그렇게 불리는지 알게되죠) 쉽게 말해, 다항식의 해를 직접 찾는 것이 아니라, (해가 들어 있는) 체와 대응하는 자기동형사상들로 구성한 군 구조(group)를 연구함으로써 다항식에 관한 정보를 얻을 수 있습니다.

이러한 접근 방식은 다항식의 해를 찾는 문제뿐만 아니라, 다항식이 특정한 형태의 해를 가질 수 있는지, 또는 그러한 해를 가질 수 없는지에 대한 질문에도 답을 제공합니다. 예를 들면, 갈루아 이론을 통해 3차, 4차 방정식이 대수식으로 풀릴 수 있는 반면, 5차 이상의 일반적인 다항식은 대수식으로 해를 구할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다.

그런데, 이것은 틀렸습니다. 사실, 사칙연산과 제곱근 만으로 표현 안된다는 것입니다. 예를들어서, 5차방정식의 경우 $x^5+x+a=0$( 개형 그려보면 근이 하나거든요?)의 근을 새로운 제곱근 기호(Bring radical)을 도입하여 표현하면, 근의 공식을 기술 할 수 있어요. 그러나 제곱근을 포함한 새로운 연산들 개수가 유한한 상황에서는 근의 공식 기술이 안되는 다항식이 꼭 존재하리라는 그런 강한 직관이 듭니다.

요약하면, 갈루아 이론은 다항식의 해에 관한 깊은 통찰력을 제공하는 도구로서, 대수학과 수론에서 중요한 역할을 합니다. 그리고 이론의 아름다움은 복잡한 대수적 문제를 간결한 그룹 이론적 구조로 변환하여 해결하는 데 있습니다.

켤레복소수의 성질

모든 실수에 대해서, 실수의 켤레는 자기 자신이죠. 필연적으로, 모든 자기동형사상은 (켤레 연산이 실수를 고정하는 것처럼) 고정하는 체를 가져요. 그리고, 우리가 잘 아는 켤레복소수 성질들이 자기동형사상에서도 만족을 하죠. (물론, 그 고정하는 체로 이루어진 다항식이어야만 해요)
다음을 기억하세요: 실수체 위에서의 (또는 실수에 포함되는 체) 다항식을 상정해야 다음 성질이 만족한다

정의에 의해서 바로 : 합의 켤례는 켤레의 합이고 곱의 켤레는 켤레의 곱입니다.
$(z+w)^*=z^*+w^*$ 그리고 $(zw)^* =z^*\times w^*$

실계수의 다항식의 값과 켤레복소수: 실계수다항식 $f(x)$에 복소수 $z$를 대입하여 얻은 값의 켤레는 $f(z^*)$와 동일하다. 여기서 $z^*$는 $z$의 켤레복소수입니다.
실계수 다항식의 경우, 복소수 근이 있으면 그 켤레도 근으로 반드시 존재합니다. 따라서 복소수 $a + bi$가 다항식 $f(x)$의 근이면, $a-bi$도 근입니다.

비가약 실수 다항식

비가약 실수 다항식은 실수 계수로 표현된 다항식이면서, 더 이상 나눌 수 없는 다항식을 말합니다. 즉, 주어진 다항식 $f(x)$는 어떤 실수 다항식 $g(x)$와 $h(x)$의 곱으로 표현될 수 없는 경우를 말합니다, 단, $g(x)$와 $h(x)$는 1차 다항식이 아니어야 합니다.

만약, 실수 계수 비가약다항식 $f(x)$이 복소수 근$z$을 가지면, $f(x)$는 $(x-z)$ 와 $(x-z^*)$ 모두를 인수로 가집니다. 왜냐하면, $f(z)$와 $f(z^*)$가 모두 0이어야 하니깐요.

따라서, 실수 계수 비가약다항식 $f(x)$는 1차식 ($z=z^*$인 경우) 또는 2차식($z\ne z^*$인 경우)일 수 밖에 없습니다. (만약 아니라면, 대수학의 기본정리에 위배되니깐요)

선형대수학

이 시리즈는 아래 나열된 선형대수학의 기본적인 개념과 이론에 대한 이해를 기반으로 작성되었습니다. 이 주제들에 대한 기본적인 지식이 없는 경우, 해당 내용을 먼저 학습한 후에 이 시리즈를 읽는 것을 권장합니다.

• 벡터와 벡터 공간: 기본적인 벡터 연산, 선형 독립 및 기저에 대한 이해
• 행렬과 연산: 행렬의 덧셈, 뺄셈, 스칼라곱, 곱셈, 전치행렬, 역행렬의 정의와 성질
• 행렬식(determinant): 행렬식의 정의, 성질 및 기하학적 해석
• 선형 시스템의 해: 가우스 소거법, 가우스-조르당 소거법 및 연립 방정식의 해의 유무와 유일성
• 선형 변환: 선형 변환의 정의, 선형 변환의 핵과 상, 변환행렬
• 고유값과 고유벡터: 고유값 및 고유벡터의 정의와 계산, 대각화
• 내적 공간: 내적의 정의와 성질, 정규직교 기저, 그람-슈미트 직교화 과정
• 특이값 분해와 주성분 분석(기본적인 이해)

Motivation 풀어쓰기

같이 고민해봅시다.

(실수성분의) 대칭행렬은 직교대각화가 가능합니다. 그리고, 더 나아가서 무엇이 대칭행렬에 해당하는 것인지를 고민할 때 이 사실이 핵심이 됩니다. (사견입니다) 그런데, 이게 $\mathbb{R}$ 위에서 참인 명제이자나요?

대칭행렬의 직교대각화 생각의 확장

내적은 두 벡터를 입력받아 실수값을 출력하는 연산입니다. 우리는 3가지 형태의 내적을 알고 있는데, 1.(근원지) 유클리드 공간의 dot product이죠. 2.(복소수체 위에서 정의한) 현대적 내적의 개념이죠. 3. (정의상 내적이라 부르면 안되지만) bilnear form과 같이 순수하게 대수적으로 정의한 연산입니다.

1. 추상적 방향에 대해서: 이런 관점에서 생각을 할 때에는, bilnear form을 (또는 뭐든) 기준으로 직교를 정의하는 것이 필수 겠군요. 그리고, 어떤 경우에 직교 대각화가 가능한지를 추상적인 언어로 자세히 들여다 보는 과정이 필요하겠어요. (그래서, 증명을 자세히 봐야해요) 직교대각화의 조건에 대한 추상적인 접근은 더 광범위한 이해를 제공할 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 체에 대하여 어떤 형태의 행렬이 직교대각화가 가능한지, 그리고 그 조건이 어떻게 행렬의 특성에 의존하는지를 조사하는 것은 매우 흥미로운 주제입니다.

이런 방향의 사고의 결과를 예를 들면, 이런 것이 있겠어요.

• 어떤 다항식이 대칭행렬의 특성다항식이 되는가?
• 대칭행렬이 항상 직교 대각화가 되게 하는 field($\mathbb{R}$이 아닌 경우도 되는지 궁금하다는 거죠)는 무엇이 있겠는가?

2. 구체적 상황에 맞게: $\mathbb{C}$에서는 대칭행렬이 직교 대각화가 되지 않습니다. 안되는군.. 그럼 끝! 이렇게 했으면, 현대 문명은 이렇게 발전할 수 없었을 겁니다. 왜냐하면, 대부분의 자연 현상과 과학적 문제는 복소수 체에서의 해석이 필요하기 때문입니다. 특히, 전기 및 통신 엔지니어링, 양자역학 등의 분야에서 복소수는 핵심적인 역할을 합니다. 이러한 분야에서는 행렬의 복소수 체에서의 성질이 굉장히 중요합니다. 에르미트 대칭이라는 개념이 도입된 것은 $\mathbb{C}$에서 대칭행렬의 성질을 일반화하기 위한 시도 중 하나였습니다. 이런 개념의 도입은 체의 선택에 따라 대칭행렬의 성질이 어떻게 달라지는지를 보여주는 좋은 예시입니다. 간단히, 요약하면, 에르미트 대칭이면(역 안됨) 정규행렬이고, 정규행렬이면 (이건 스펙트럴 정리에 의해 역이 참임) 에르미트 직교대각화가 가능합니다.