조르당 표준형

선형대수학에서 중요한 주제는 벡터 공간 $V$에서 자기 자신으로의 선형변환(Endomorphism)입니다. 이러한 선형변환은, 벡터 공간 $V$의 순서 기저를 통해서, 행렬로 표현되므로, 행렬표현은 모든 Endomorphism을 이해하고 분류하는 작업의 첫 걸음입니다.

같은 벡터 공간이라도 다양한 기저를 가질 수 있고, 선형변환의 행렬표현은 기저의 선택에 따라 달라질 수 있으며, 결과적으로 행렬표현은 선형변환의 중요 성질을 나타내기는 하지만, 너무 복잡합니다. 이 상황을 이해하기 위해서는 닮음 행렬(Similar matrices)이 무엇인지, 알고 넘어가야 합니다.

같은 선형변환을 나타내는 행렬들은 서로 닮음 관계에 있습니다. 그리고 (서로 다른) 행렬이 서로 닮았다면, 그것은 같은 선형변환의 (다른 기저를 통한) 표현들이라는 것을 뜻합니다.

실제로 선형변환 $n$차원 공간에서 $n$차원 공간으로의 선형변환을 모두 표현하기 위해서는, 최소 $n\times n$개의 숫자들이 필요합니다. 다시말해서, 기저의 선택의 대해서, 행렬표현이 유일합니다. 그러나, 선형변환 그 자체의 성질(차원, 특성다항식, 고유 공간...)만을 행렬로 표현하고 싶은 입장에서는, 낭비되는 Memory가 너무 많습니다.

주어진 행렬이 그것과 닮은 행렬들과 공유하는 성질을 빠짐없이 나타내는, 가장 단순한 행렬표현 방법은 무엇일까요?

이러한 질문에 대한 답이 바로 "Jordan Normal Form(조르당 표준형)"입니다. Jordan Normal Form은 임의의 정사각행렬과 대각행렬과 비슷한 형태의 행렬로, 구체적으로 말하면, Jordan Block들의 block 대각행렬로 입니다. 여기서, Jordan Block은 대각선에는 같은 수(고유값)가 있고, 그 바로 위 대각선에는 1이 있는 형태의 블록 행렬입니다. 중요한 감상 포인트는, Jordan Normal Form은 0이 아주 많다는 것입니다. 그리고 이것은, 행렬연산의 관점에서도 매우 큰 유익을 제공할 수 있음을 의미합니다.

정말 중요한 의의는, Jordan Normal Form은 선형대수학을 공부하는데, 큰 도움을 준다는 것입니다. 다시말해서, 행렬의 Jordan Normal Form이 존재한다는 사실 자체가 선형대수학의 수많은 내용을 증명에서 매우 중요하게 여겨지며, 궁극적으로 선형대수학의 수많은 내용을 깊게 이해하는데 기여합니다.