한빛 아카데미의 프리드버그 선형대수학 7판을 정리하고 풀이한 글입니다.

싸피가 끝나고 밤에 한 두 시간만 자고 깨는 일들이 많아졌다. 9-6를 안하다 보니까 몸이 덜 피곤해서 그런걸까? 근데 사실 어제 스터디원들과 관악산 등산 + 친구랑 설입에서 학교 정문까지 걷기를 해서 체력을 많이 뺐는데도 2시간 밖에 못 잤음. 이유는 모르겠다.

이렇게 잠을 못자는 밤에는 학교 다닐 때 아쉬웠던 공부들을 좀 더 해보자는 생각으로, 매번 반 정도 밖에 보지 못했던 선형대수학을 공부해볼까 한다. 목표는 필요해 보이던 부분들에 대한 정의 및 정리 증명과 연습 문제 풀이다. 아마 당분간은 이 생활이 계속될 것 같으니까 종종 올라오지 않을까?

1.1. 개론은 생략하고 1.2. 벡터공간부터 시작한다.

1.2. 벡터공간

$def.$ 벡터공간의 정의

체 $F$에서의 벡터공간, 또는 선형공간 $V$는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 집합이다.

• 합은 $V$의 두 원소 $x, y$에 대해 유일한 원소 $x + y \in V$ 를 대응하는 연산이다.

• 스칼라 곱은 체 $F$의 원소 $a$와 벡터공간 $V$의 원소 $x$마다 유일한 원소 $ax \in V$를 대응하는 연산이다.

  (VS1) $\forall x, y \in V,\ x+y = y+x$
  (VS2) $\forall x, y, z \in V$,\ (x+y) + z = x + (y+z)$
  (VS3) $\forall x \in V, \exists 0 \in V,\ s.t.\ x + 0 = x$
  (VS4) $\forall x \in V,\ \exists y \in V,\ s.t.\ x + y = 0$
  (VS5) $\forall x \in V,\ 1x=x$
  (VS6) $\forall a,b, \in F,\ \forall x \in V, (ab)x = a(bx)$
  (VS7) $\forall a \in F,\ \forall x,y \in V, a(x+y) = ax + ay$
  (VS8) $\forall a, b, \in F,\ \forall x \in V,\ (a+b)x = ax +bx$

• 체 $F$의 원소는 스칼라, 벡터공간 $V$의 원소는 벡터라 한다.
• $a_1, a_2, ..., a_n$이 체 $F$의 원소일 때, $(a_1, a_2, ..., a_n)$ 꼴의 수학적 대상을 $F$에서 성분을 가져온 $n$순서쌍이라 하며, 각 원소들은 $n$순서쌍의 성분이라 한다.
• 체 $F$에서 성분을 가져온 모든 $n$순서쌍의 집합을 $F^n$이라 표기한다.

$Thm1.1$ 벡터 합의 소거 법칙

$x,y,z \in V$ 이고 $x + z = y +z$일 때, $x=y$이다.

$pf.$ 벡터공간의 조건 (VS4)에 의해 $z+ v= 0$인 벡터 $v \in V$가 존재한다. 조건 (VS2), (VS3)에 의해 다음이 성립한다.

- $Corollary 1$ (VS3)을 만족하는 벡터 $0$ 은 유일하다.

$pf.$ $x + 0 = x, x + 0' = x$ 인 벡터 $0, 0'$이 있다고 하자. $x + 0 = x + 0'$이므로 $Thm 1.1$에 의해 $0 = 0'$이다. 따라서 (VS3)을 만족하는 벡터 $0$은 유일하다.

- $Corollary 2$ (VS4)를 만족하는 벡터 $y$ 은 유일하다.

$pf.$ $x + y = 0, x+ y' = 0$이라 하자. $x + y = x + y' = 0$이므로 $Thm 1.1$에 의해 $y = y'$이다. 따라서 유일하다.

$Thm 1.2$ 스칼라 곱의 기본 성질

모든 벡터공간 $V$에 대해 다음이 성립한다.

(1) $\forall x \in V, 0x= 0$
(2) $\forall a \in F, \forall x \in V, (-a)x = -(ax) = a(-x)$
(3) $\forall a \in F, a0 = 0$

$pf.$
(1) (VS8), (VS3), (VS1)에 의해 $0x + 0x = (0 + 0)x = 0x = 0x + 0 = 0 + 0x$이다. $Thm1.1$에 의해 $0x = 0$이다.

(2) 벡터 $-(ax)$는 $ax + \{-(ax)\} = 0$의 유일한 벡터다. (VS8)에 의해 $ax + (-a)x = \{a + (-a)\} x = 0x = 0$이고 $Corollary2$에 의해 $(-a)x = -(ax)$이다. (VS6)에 의해 다음이 성립한다.

(3) (VS3)에 의해 $0 + 0 = 0$이므로 $a(0 +0) = a0$이다. (VS7)에 의해 $a(0+0) = a0 + a0$이다. $a(0 + 0) = a0 + a0 = a0 + 0$이므로 $Thm1.1$에 의해 $a0 = 0$이다.

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2. 연습문제

1.

1. (VS3)에 의해 참
2. $Corollary1$에 의해 거짓
3. $x = 0$의 반례가 존재. 거짓
4. $a = 0$의 반례가 존재. 거짓
5. 참
6. $m$행 $n$열. 거짓
7. 거짓
8. 거짓
9. 참
10. 참
11. 참

2-7. 은 귀찮아서 PASS

8.

10.

어떤 집합이 벡터공간인지를 확인하기 위해서는 해당 집합에 정의된 두 연산(합, 스칼라곱)과 해당 집합이 벡터공간의 여덟 조건들을 만족하고 있는지의 여부를 확인하면 된다.

미분가능한 함수 $f, g$에 대해, 정의된 합 연산의 결과 $f(s) + g(s)$와 스칼라 곱 연산의 결과 $c[f(s)]$는 모두 미분가능하다. 벡터공간의 여덟 조건들은 정의된 연산들에 의해 만족된다.

11.

문제에서 정의된 두 연산 $0+ 0 = 0, c0 = 0$에 대해 각 연산의 결과는 $0 \in V$이다.
(VS1)~(VS8)을 모두 확인해보면 $V = \{0\}$이 벡터공간임은 쉽게 확인할 수 있다.

12.

우함수의 집합을 $V$라 하고 $f, g \in V$라 하자.
$(f +g)(-t) = f(-t) + g(-t) = f(t) + g(t) = (f + g)(t)$이므로, $V$는 덧셈에 닫혀있다.
$(cf)(-t) = c[f(-t)] = c[f(t)] = (cf)(t)$이므로 $V$는 스칼라 곱에 대해서도 닫혀있다.

벡터공간의 조건들은 정의된 연산들에 의해 만족된다.

13-15. 한빛아카데미의 프리드버그 선형대수학 공개용 답안에 답안이 있다.

16.

어떤 유리수에 임의의 유리수를 곱하거나 더해도 결과는 유리수다. 따라서 $V$는 $F$-벡터공간이다.

17. 한빛아카데미의 프리드버그 선형대수학 공개용 답안에 답안이 있다.

18.

19.

(VS8)을 만족하지 않는다. $(\frac{1}{2} + \frac{1}{2})(2, 2) = \frac{1}{4}(2,2)$를 생각해보자. (VS8)에 따르면 이는 $\frac{1}{2}(2,2) + \frac{1}{2}(2,2) = (1, 4) + (1,4) = (2, 8)$여야 한다. 하지만 정의된 스칼라 곱 연산에 따르면 $\frac{1}{4}(2,2) = (\frac{1}{2}, 8)$이다. 따라서 $V$는 벡터공간이 아니다.

20.

$f, g \in V$라 하자. $(f+g)(1) = f(1) + g(1) = 0$이므로 $V$는 덧셈에 닫혀있다.
임의의 $c \in R$에 대해, $(cf)(1) = c[f(1)] = c[0] = 0$이므로, $V$는 스칼라 곱에 대해서도 닫혀있다.
이외의 모든 조건들은 정의된 덧셈과 스칼라 곱 연산에 의해 만족되므로 $V$는 $F$-벡터공간이다.

21.

합 연산의 결과 $(v_1 + v_2, w_1 + w_2)$의 경우, $v_1 + v_2 \in V$이고 $w_1 + w_2 \in W$이므로 $(v_1 + v_2, w_1 + w_2) \in Z$이다. 스칼라 곱 연산의 결과 또한 $(cv_1, cw_1) \in Z$이다.
이 연산들은 확인해보면 벡터공간의 8가지 조건을 만족하므로 $Z$는 $F$-벡터공간이다.

22. 한빛아카데미의 프리드버그 선형대수학 공개용 답안에 답안이 있다.