야밤의 선형대수학 - 1.3 부분공간

Park Yeongseo·2024년 4월 12일
Linear Algebra선형대수학
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야밤의 선형대수학

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한빛 아카데미의 프리드버그 선형대수학 7판을 정리하고 풀이한 글입니다.

야밤의 선형대수학 - 1.2 벡터공간 이후로 너무 오랜만에 포스팅하게 됐다. 연습문제를 싹 다 풀고 정리해서 올리려고 했는데, 풀고 정리하는 데 시간이 너무 오래 걸려서 도중에 멈췄다가 다시 시작했다. 다음 장부터는 몇 가지 문제만 추려서 포스팅해야 할 것 같다.

1. 부분공간

def.def. 부분공간

FF-벡터공간 VV의 부분집합 WW를 생각하자. 이 부분집합 WW가 VV에서 정의한 합과 스칼라 곱을 가진 FF-벡터공간일 때, VV의 부분공간이라 한다.

모든 벡터공간 VV에 대해 VV와 {0}\{0\}은 부분공간이다. 벡터공간의 조건 (VS1, 2, 5, 6, 7, 8)은 연산에 대한 성질이며, WW는 이를 만족하는 VV의 연산을 그대로 물려받고 있으므로 이 조건들에 대해서 따로 확인할 필요는 없다. 부분집합 WW가 VV의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음의 4가지 성질을 만족하는 것이다.

성질 1 ∀x,y∈W,x+y∈W\forall x,y \in W, x+y \in W
성질 2 ∀c∈F,∀x∈W,cx∈W\forall c \in F, \forall x \in W, cx \in W
성질 3 0∈W0 \in W
성질 4 ∀x∈W,∃y∈W,s.t., x+y=0\forall x \in W, \exists y \in W, s.t.,\ x+y = 0

Thm1.3Thm1.3 부분공간이기 위한 필요충분조건

벡터공간 VV와 부분집합 WW를 생각하자. WW가 VV의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음의 세 가지 조건을 만족하는 것이다. 이때, 연산은 VV에서 정의된 것과 같다

(1) 0∈W0 \in W
(2) ∀x,y∈W,x+y∈W\forall x, y \in W, x+y \in W
(3) ∀c∈F,∀x∈W,cx∈W\forall c \in F, \forall x \in W, cx \in W

pf.⇒pf. \Rightarrow
WW가 VV의 부분공간이라 하자. WW는 VV에서 정의된 합과 스칼라 곱을 가지고 있으므로 (2), (3)을 만족한다.
WW의 영벡터를 0′0'이라 하면, x∈Wx \in W에 대해 x+0′=xx + 0' = x이다. x∈Vx \in V이기도 하므로 x+0=xx + 0 = x이다. Thm1.1Thm1.1에 의해 0′=00' = 0이므로 (1)이 성립한다.

pf.⇐pf. \Leftarrow
조건 (1), (2), (3)이 성립한다고 하자. 성질 4가 만족된다면 WW는 VV의 부분공간이다. 조건 (3)으로부터 x∈Wx \in W 이면 (−1)x=−x∈W(-1)x = -x \in W이다. x+(−x)=0x + (-x) = 0이므로 성질 4가 만족된다. 따라서 WW는 VV의 부분공간이다.

Thm1.4Thm1.4

벡터공간 VV의 부분공간들을 생각하자. 이 부분공간들의 임의의 교집합은 VV의 부분공간이다.

pf.pf. VV의 부분공간을 원소로 하는 집합족을 CC라 하고, CC에 속한 모든 부분공간의 교집합을 WW라 하자. 영벡터가 모든 부분공간에 속하므로 0∈W0 \in W이다. 스칼라 aa와 벡터 x,y∈Wx, y \in W에 대해, x,yx, y는 CC에서 꺼낸 임의의 부분공간에 속한다. 벡터공간은 합과 스칼라 곱에 닫혀있으므로 x+yx+y와 axax 또한 부분공간에 속한다. 따라서 x+y∈W,ax∈Wx + y \in W, ax \in W이다. Thm1.3Thm1.3에 의해 WW는 VV의 부분공간이다.

def.def. 집합의 합

벡터공간 VV의, 공집합이 아닌 부분집합 S1,S2S_1, S_2에 대해, 두 집합의 합 S1+S2S_1 + S_2는 다음과 같이 정의된다.
{x+y:x∈S1,y∈S2}\{x + y : x \in S_1, y \in S_2\}

def.def. 직합

벡터공간 VV의 두 부분공간 W1,W2W_1, W_2에 대해 W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}이고 W1+W2=VW_1 + W_2 = V이면 VV는 W1,W2W_1, W_2의 직합이라 하고, V=W1⨁W2V = W_1 \bigoplus W_2로 표기한다.

def.def. 잉여류(coset)

FF-벡터공간 VV와 부분공간 WW에서, 임의의 v∈Vv \in V에 대해 다음의 집합을 vv를 포함하는 WW의 잉여류라 한다.
{v}+W={v+w:w∈W}\{v\} + W = \{v + w : w \in W \}
{v}+W\{v\} + W는 간단히 v+Wv + W로 표기하기도 한다.

def.def. 몫공간(quotient space)

WW의 모든 잉여류를 원소로 하는 집합족 S={v+W:v∈V}S = \{v + W : v \in V\}와 FF에서 꺼낸 스칼라에 대해, 다음과 같이 합과 스칼라 곱을 정의하자. 이때 SS는 벡터공간이다. 이를 법 WW 에 대한 VV의 몫공간이라 하고, V/WV/W로 표기한다.

모든 v1,v2∈Vv_1, v_2 \in V에 대해, (v1+W)+(v2+W)=(v1+v2)+W(v_1 + W) + (v_2 + W) = (v_1 + v_2) + W
모든 v∈V,a∈Fv \in V, a \in F에 대해, a(v+W)=av+Wa(v + W) = av + W

2. 연습문제

2, 8, 11, 15, 20번은 한빛아카데미의 프리드버그 선형대수학 공개용 답안에 답안이 있다.
1.

(a) WW가 VV에서 정의된 합과 스칼라 곱 연산을 가진 벡터공간이어야 한다. 거짓
(b) 공집합은 벡터공간이 아니다. 거짓
(c) 벡터공간 VV는 점공간을 부분공간으로 포함한다. 이 점공간을 WW라 하면, 점공간이 아닌 벡터공간 VV는 W≠VW \neq V인 부분공간을 WW를 반드시 포함한다. 참
(d) 두 부분공간의 교집합이 VV의 부분공간이다. 거짓
(e) 참
(f) 합임. 거짓
(g) 거짓

3.
(aA+bB)ijt=(aA+bB)ji=(aAji+bBji)=aAji+bBji=aAijt+bBijt∴(aA+bB)t=aAt+bBt\begin{aligned} (aA + bB)^t_{ij} &= (aA + bB)_{ji} \\&= (aA_{ji} + bB_{ji}) \\&= aA_{ji} + bB{ji} \\&= aA^t_{ij} + bB^t_{ij} \\ \\ \therefore (aA + bB)^t &= aA^t + bB^t \end{aligned}
4.

Aijt=AjiA^t_{ij} = A_{ji}이므로, (Aijt)t=(Aji)t=Aij(A^t_{ij})^t = (A_{ji})^t = A_{ij}이다.

5.

A+AtA+A^t의 ii행 jj열 성분 (A+At)ij=Aij+Aijt=Aij+Aji(A+A^t)_{ij} = A_{ij} + A^t_{ij} = A_{ij} + A_{ji}이다.
A+AtA+A^t의 jj행 ii열 성분 (A+At)ji=Aji+Ajit=Aji+Aij(A+A^t)_{ji} = A_{ji} + A^t_{ji} = A_{ji} + A_{ij}이다.

(A+At)ij=(A+At)ji(A+ A^t)_{ij} = (A + A^t)_{ji}이므로 A+AtA + A^t는 대칭행렬이다.

6.
tr(A)=∑i=1nAii,tr(B)=∑i=1nBiitr(A) = \sum_{i=1}^nA_{ii},\quad tr(B) = \sum_{i=1}^nB_{ii}
tr(aA+bB)=∑i=1n(aAii+bBii)=∑i=1naAii+∑i=1nbBii=a∑i=1nAii+b∑i=1nBii=a tr(A)+b tr(B)\begin{aligned} tr(aA + bB) &= \sum_{i=1}^n(aA_{ii}+bB_{ii})\\ &= \sum_{i=1}^naA_{ii} + \sum_{i=1}^nbB_{ii}\\ &= a\sum_{i=1}^nA_{ii} + b\sum_{i=1}^nB_{ii}\\ &= a\ tr(A) + b\ tr(B) \end{aligned}
7.

AA가 대각행렬이면 Aij=0(i≠j)A_{ij} = 0\quad (i \neq j) 이므로, Aji=0A_{ji} = 0이다. Aij=AjiA_{ij} = A_{ji}이므로 AA는 대칭행렬이다.

8.

(a) O
(b) X
(c) O
(d) O
(e) X
(f) X

9. 패스
10.

W1W_1 은 Thm1.3Thm1.3을 만족하므로 FnF^n의 부분공간이다.
1. 0∈W10 \in W_1
2. a,b∈W1a, b \in W_1이라 하자.
a=(a1,...,an),b=(b1,...,bn)a = (a_1, ..., a_n), b= (b_1, ..., b_n) 이라 하면, ∑i=1nai=0,∑i=1nbi=0\sum_{i=1}^n a_i = 0, \sum_{i=1}^n b_i = 0이다.
(a+b)=(a1+b1,...,an+bn)이고∑i=1n(ai+bi)=∑i=1nai+∑i=1nbi=0(a + b) = (a_1+b_1, ..., a_n + b_n)이고 \sum_{i=1}^n (a_i+b_i) = \sum_{i=1}^na_i + \sum_{i=1}^n b_i = 0이므로 (a+b)∈W1(a+b) \in W_1이다. 따라서 W1W_1은 덧셈에 닫혀있다.
3. a∈W,c∈Fa \in W, c \in F라 하자. ca=c(a1,...,an)=(ca1,...,can)ca = c(a_1, ..., a_n) = (ca_1, ..., ca_n)이고 ∑i=1n(cai)=c∑i=1n(ai)=c0=0\sum_{i=1}^n(ca_i) = c\sum_{i=1}^n(a_i) = c0 = 0이므로 ca∈W1ca \in W_1이다. W1W_1은 스칼라 곱에도 닫혀있다.

W2W_2의 경우 0∉W20 \not\in W_2이다. 따라서 W2W_2는 부분공간이 아니다.

12.

m×nm \times n 상삼각행렬의 집합을 UU라 하자. 즉 U={A∣A∈Mm ×n(F), Aij=0(i>j)}U = \{A | A \in M_{m \ \times n }(F),\ A_{ij} = 0 (i > j)\}이다.
1. 0∈U0 \in U이다.
2. A,B∈UA, B \in U일 때, (A+B)ij=Aij+Bij=0+0 (i>j)(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij} = 0 + 0\ (i>j)이므로 (A+B)∈U(A+B) \in U이다.
3. A∈U,c∈FA \in U, c \in F일 때, (cA)ij=cAij=c0 (i>j)(cA)_{ij} = cA_{ij} = c0\ (i>j)이므로 cA∈UcA \in U이다.

따라서 m×nm \times n 상삼각행렬의 집합은 Mm×n(F)M_{m \times n}(F)의 부분공간이다.

13.

F(S,F)\mathcal{F}(S,F)에서의 연산들은 1.2 벡터공간의 예제 3을 참고. F(S,F)\mathcal{F}(S, F)는 벡터 공간이다.
1. 0∈F(S,F),0(s0)=00 \in \mathcal{F}(S, F), 0(s_0) = 0인 0∈S0 \in S이다.
2. f,g∈Sf, g \in S라 하자. f,g∈F(S,F)f, g \in \mathcal{F}(S,F)이므로 f+g∈F(S,F)f + g \in \mathcal{F}(S,F)이고, f(s0)=g(s0)=0f(s_0) = g(s_0) = 0이므로 (f+g)(s0)=f(s0)+g(s0)=0(f+g)(s_0) = f(s_0) + g(s_0) = 0이다. 따라서 SS는 덧셈에 닫혀있다.
3. c∈F,f∈Sc \in F, f \in S라 하자. cf∈F(S,F)cf \in \mathcal{F}(S,F)이고, (cf)(s0)=c[f(s0)]=c(0)=0(cf)(s_0) = c[f(s_0)] = c(0) = 0이다. SS는 스칼라 곱에도 닫혀있다.

14.
  1. 영함수 0∈C(S,F)0 \in \mathcal{C}(S,F)이다.
  2. f,g∈C(S,F)f, g \in \mathcal{C}(S,F)이고, ff에서는 nn개의 점을 제외한 모든 점에서 함숫값이 00이고, gg에서는 mm개의 점을 제외한 모든 점에서 함숫값이 00이라고 하자. f+gf+g에 대해 함숫값이 00이 아닌 점의 개수가 최대가 될 때는 각 a1,...,an,b1,...,bma_1, ..., a_n, b_1, ..., b_m이 서로 다를 때로, 최대 m+nm + n개이고, 따라서 유한하다. 따라서 C(S,F)\mathcal{C}(S, F)는 덧셈에 닫혀 있다.
  3. 임의의 스칼라 a∈Sa \in S와 f∈C(S,F)f \in \mathcal{C}(S,F)에 대해, afaf의 함숫값이 00이 아닌 점의 개수는 a≠0a \neq 0일 때로, 최대 nn개다. 따라서 af∈C(S,F)af \in \mathcal{C}(S,F)다. 즉 C(S,F)\mathcal{C}(S,F)는 스칼라 곱에도 닫혀 있다.
16. 15번과 유사하게 풀 수 있으므로 패스
17.

(pf.⇒)(pf. \Rightarrow) WW가 VV의 부분공간이면 Thm1.3Thm1.3에 따라 0∈W0 \in W이고 ∀a∈F,∀x,y∈W\forall a \in F, \forall x, y \in W에 대해 x+y∈W,ax∈Wx + y \in W, ax \in W이다. 0∈W0 \in W이므로 WW는 공집합이 아니고, 나머지도 성립한다.

(pf.⇐)(pf. \Leftarrow) W≠∅W \neq \emptyset이므로 임의의 x∈Wx \in W를 생각할 수 있다. 이 xx에 대해 ax∈Wax \in W이다. a=0a = 0이라 하면 ax=0x=0∈Wax = 0x = 0 \in W이므로 0∈W0 \in W이다. Thm1.3.Thm1.3.에 의해 WW는 VV의 부분공간이다.

18.

(pf.⇒)(pf. \Rightarrow) WW가 VV의 부분공간이므로 ax∈Wax \in W이고 ax+y∈Wax + y \in W이다.
(pf.⇐)(pf. \Leftarrow) 0∈W0 \in W이고 ∀a∈F,∀x,y∈W\forall a \in F, \forall x, y \in W에 대해 ax+y∈Wax + y \in W이다. y=0y = 0이라 하면 ax+y=ax∈Wax + y = ax \in W이다. a=1a = 1이라 하면 ax+y=x+y∈Wax + y = x + y \in W이다. Thm1.3Thm 1.3에 의해 WW는 VV의 부분공간이다.

19.

(pf.⇐)(pf. \Leftarrow)
W1⊆W2W_1 \subseteq W_2이면 W1∪W2=W2W_1 \cup W_2 = W_2이고, W2⊆W1W_2 \subseteq W_1이면 W1∪W2=W1W_1 \cup W_2 = W_1. W1,W2W_1, W_2가 VV의 부분공간이므로 어떤 경우에도 W1∪W2W_1 \cup W_2는 VV의 부분공간이 된다.

(pf.⇒)(pf. \Rightarrow)
∃x∈W1−W2,∃y∈W2−W1\exists x \in W_1 - W_2, \exists y \in W_2 - W_1이라 가정하자.
W1∪W2W_1 \cup W_2가 VV의 부분공간이고 x,y∈W1∪W2x, y \in W_1 \cup W_2이므로 x+y∈W1∪W2x+y \in W_1 \cup W_2여야 한다. x+y∈W1∪W2x + y \in W_1 \cup W_2이므로 x+y∈W1x + y \in W_1 이거나 x+y∈W2x+y \in W_2이다. 만약 x+y∈W1x+y \in W_1이면, W1W_1가 부분공간이므로 y∈W1y \in W_1이어야 한다. 반대로 만약 x+y∈W2x +y \in W_2이면, W2W_2가 부분공간이므로 x∈W2x \in W_2여야 한다. 이는 위에서 가정한 것과 모순이다. 따라서 ∄x∈W1−W−2,∄y∈W2−W2\not\exists x \in W_1 - W-2, \not\exists y \in W_2 - W_2이다. 즉 W1⊆W2W_1 \subseteq W_2이거나 W2⊆W1W_2 \subseteq W_1이다.

21.

수렴하는 수열 (an)(a_n)의 집합을 WW라 하자.
1. 수열 (0,0,0,0,...)∈W(0, 0, 0,0, ...) \in W이다.
2. WW의 원소가 되는 임의의 수렴하는 수열 (an),(bn)(a_n), (b_n)에 대해, lim⁡n→∞an,lim⁡n→∞bn\lim_{n\to\infty} a_n , \lim_{n\to\infty} b_n이 존재하므로 lim⁡n→∞(an+bn)∈R\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) \in R도 존재한다. 따라서 (an+bn)∈W(a_n + b_n) \in W이다.
3. WW의 원소 (an)(a_n)에 대해, 그 수렴값을 α\alpha라 하자. 이때 (can)(ca_n)의 수렴값은 cα∈Rc \alpha \in R가 되므로 (can)∈W(ca_n) \in W이다.

22.

우함수의 집합을 SS, 기함수의 집합을 TT라 하자.
1. S∈F(F1,F2)S \in \mathcal{F}(F_1, F_2)임을 증명

  • 영함수 00에 대해, 0(−t)=0,0(t)=00(-t) = 0, 0(t) = 0이므로 0(−t)=0(t)0(-t) = 0(t)이다 따라서 0∈S0 \in S다.
  • f,g∈Sf, g \in S라 하자. (f+g)(t)=f(t)+g(t)=f(−t)+g(−t)=(f+g)(−t)(f+g)(t) = f(t) + g(t) = f(-t) + g(-t) = (f + g)(-t)이다. 따라서 f+g∈Sf+g \in S다.
  • a∈F1,f∈Sa \in F_1, f \in S라 하자. (af)(t)=a⋅f(t)=a⋅f(−t)=(af)(−t)(af)(t) = a \cdot f(t) = a \cdot f(-t) = (af)(-t)이다. 따라서 (af)∈S(af) \in S다.
  1. T∈F(F1,F2)T \in \mathcal{F}(F_1, F_2)임을 증명
  • 영함수 0∈T0 \in T다.
  • f,g∈Tf, g \in T라 하자.
    (f+g)(−t)=f(−t)+g(−t)=−f(t)+(−g(t))=((−f)+(−g))(t)=−(f+g)(t)\begin{aligned} (f+g)(-t) &= f(-t) + g(-t)\\ & = -f(t) + (-g(t)) \\ & = ((-f) + (-g))(t) \\ & = -(f+g)(t) \end{aligned}다.
    따라서 (f+g)∈T(f+g) \in T다.
  • a∈F1,f∈Ta \in F_1, f \in T라 하자. (af)(−t)=a(f(−t))=a(−f(t))=a(−1f(t))=(−a)f(t)=−af(t)(af)(-t) = a(f(-t)) = a(-f(t)) = a(-1f(t)) = (-a)f(t) = -af(t)다.

직합을 이용한 문제들

23.

(a)
1. W1,W2W_1, W_2가 모두 VV의 부분공간이므로 0∈W1,0∈W20 \in W_1, 0 \in W_2다. 따라서 0+0=0∈W1+W20 + 0 = 0 \in W_1 + W_2이다.
2. x1,x2∈W1x_1, x_2 \in W_1이고 y1,y2∈W2y_1, y_2 \in W_2라 하자. (x1+y1)∈W1+W2(x_1 + y_1) \in W_1 + W_2이고 (x2+y2)∈W1+W2(x_2 + y_2) \in W_1 + W_2이다.
W1,W2W_1, W_2가 부분공간이므로 x1+x2∈W1x_1 + x_2 \in W_1이고 y1+y2∈W2y_1 + y_2 \in W_2이고, 따라서 (x1+x2)+(y1+y2)=(x1+y1)+(x2+y2)∈W1+W2(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) \in W_1 + W_2다. 그러므로 W1+W2W_1 + W_2는 덧셈에 닫혀있다.
3. x∈W1x \in W_1, y∈W2y \in W_2라 하자. (x+y)∈W1+W2(x + y) \in W_1 + W_2다. a∈Fa \in F일 때, W1,W2W_1, W_2가 부분공간이므로 ax∈W1,ay∈W2ax \in W_1, ay \in W_2이다. (ax+ay)=a(x+y)∈W1+W2(ax + ay) = a(x + y) \in W_1 + W_2이므로 W1+W2W_1 + W_2는 스칼라 곱에도 닫혀있다.

(b)
W1,W2W_1, W_2를 포함하는 VV의 부분공간을 WW라 하자. 임의의 x∈W1,y∈W2x \in W_1, y \in W_2에 대해 (x+y)∈W1+W2(x + y) \in W_1 + W_2이다. 그런데 x,y∈Wx, y \in W이므로 x+y∈Wx + y \in W이다. 임의의 (x+y)∈W1+W2(x+y) \in W_1 + W_2에 대해 (x+y)∈W(x + y) \in W이므로 W1+W2⊆WW_1 + W_2 \subseteq W이다.

24.

  1. W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}임을 증명
    (a1,a2,...,an)∈W1∩W2(a_1, a_2, ..., a_n) \in W_1 \cap W_2에 대해, (a1,...,an)∈W1(a_1, ..., a_n) \in W_1이므로 (a1,...,an−1,an)=(a1,...,an−1,0)(a_1, ..., a_{n-1}, a_n) = (a_1, ..., a_{n-1}, 0)이다. (a1,...,an−1,0)∈W2(a_1, ..., a_{n-1}, 0) \in W_2이므로 (0,...,0,0)(0, ..., 0, 0)이다. 따라서 ∀a∈W1∩W2\forall a \in W_1 \cap W_2에 대해 a=0a = 0이고, W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}이다.

  2. W1+W2=FnW_1 + W_2 = F^n임을 증명
    a1,a2,...,an−1,ana_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n이 모두 FF에서 뽑은 임의의 원소라고 하자. (a1,a2,...,an)∈Fn(a_1, a_2, ..., a_n) \in F^n이다.
    (a1,a2,...,an−1,0)∈W1,(0,0,...,0,an)∈W2(a_1, a_2, ..., a_{n-1}, 0) \in W_1, (0, 0, ..., 0, a_n) \in W_2이므로 (a1,a2,...,an−1,an)∈W1+W2(a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n) \in W_1 + W_2이다.
    임의의 FnF^n의 원소가 W1+W2W_1 + W_2의 원소이므로 Fn⊆W1+W2F^n \subseteq W_1 + W_2이다. 반대로 임의의 W1+W2W_1 + W_2의 원소는 또한 FnF^n의 원소이므로 W1+W2⊆FnW_1 + W_2 \subseteq F^n이다. 따라서 W1+W2=FnW_1 + W_2 = F^n이다.

25.

  1. W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}임을 증명
    임의의 nn차 다항식 h∈W1∩W2h \in W_1 \cap W_2를 생각해보자. h∈W1h \in W_1이므로 hh의 짝수 차수 항의 계수는 모두 0이다. h∈W2h \in W_2이므로 hh의 홀수 차수 항의 계수도 모두 0이다. h=0xn+0xn−1+...+0x+0h = 0x^n + 0x^{n-1} + ... + 0x + 0이다. 즉 영함수다. 임의의 다항식 h∈W1∩W2h \in W_1 \cap W_2가 영함수이므로 W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}이다.

  2. P(F)=W1+W2P(F) = W_1 + W_2임을 증명
    임의의 두 nn차 다항식 f∈W1,g∈W2f \in W_1, g \in W_2를 생각해보자. W1,W2W_1, W_2의 조건에 따라 다음과 같다.

    f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a2x2+a1x+a0g(x)=bnxn+bn−1xn−1+...+b2x2+b1x+b0f(x)+g(x)=(an+bn)xn+(an−1+bn−1)xn−1+...+(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a0+b0)\begin{aligned} f(x) &= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ...+ a_2x^2 + a_1x + a_0\\ g(x) &= b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + ...+ b_2x^2 + b_1x + b_0\\ \\ f(x)+g(x) &= (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + ...+ (a_2+b_2)x^2 + (a_1+b_1)x + (a_0+b_0) \end{aligned}

    f(x)+g(x)f(x) + g(x)의 ii차수 항의 계수에 ai,bia_i, b_i에 대해, ai,bi∈Fa_i, b_i \in F이므로 ai+bi∈Fa_i + b_i \in F이다. 따라서 f+g∈P(F)f+g \in P(F)이다. 즉 W1+W2⊆P(F)W_1 + W_2 \subseteq P(F)다.

이번에는 다음과 같은 임의의 한 mm차 다항식 h∈P(F)h \in P(F)를 생각해보자. mm이 짝수라고 가정하자.

h(x)=cmxm+cm−1xm−1+...+c2x2+c1x+c0h(x) = c_mx^m + c_{m-1}x^{m-1} + ...+ c_2x^2 +c_1x + c_0

h(x)h(x)는 다음과 같이 쓸 수 있다.
h(x)=(0+cm)xm+(cm−1+0)xm−1+...+(0+c2)x2+(c1+0)x+(0+c0)h(x) = (0 + c_m)x ^m + (c_{m-1} + 0)x^{m-1} + ... + (0 + c_2)x^2 + (c_1 + 0)x + (0 + c_0)
이를 다음과 같이 정리할 수 있다.

(0+cm)xm+(cm−1+0)xm−1+...+(0+c2)x2+(c1+0)x+(0+c0)=(0xm+cm−1xm−1+...+0x2+c1x+0)+(cmxm+0xm−1+...+c2x2+0x+c0)\begin{aligned} &(0 + c_m)x ^m + (c_{m-1} + 0)x^{m-1} + ... + (0 + c_2)x^2 + (c_1 + 0)x + (0 + c_0)\\ &= (0x^m + c_{m-1}x^{m-1} + ... + 0x^2 + c_1x + 0) + (c_mx^m + 0x^{m-1} + ...+ c_2x^2 + 0x + c_0) \end{aligned}

이때,

(0xm+cm−1xm−1+...+0x2+c1x+0)∈W1(cmxm+0xm−1+...+c2x2+0x+c0)∈W2\begin{aligned} (0x^m + c_{m-1}x^{m-1} + ... + 0x^2 + c_1x + 0)\in W_1\\ (c_mx^m + 0x^{m-1} + ...+ c_2x^2 + 0x + c_0) \in W_2 \end{aligned}

이다. 즉 임의의 짝수 nn차 다항식 h∈P(F)h \in P(F)에 대해, h∈W1+W2h \in W_1 + W_2다. 이는 임의의 홀수 차수 다항식에 대해서도 마찬가지이다. 임의의 P(F)P(F)의 원소가 W1+W2W_1 + W_2의 원소이기도 하므로 P(F)⊆W1+W2P(F) \subseteq W_1 + W_2다.

P(F)⊆W1+W2P(F) \subseteq W_1 + W_2이고 W1+W2⊆P(F)W_1 + W_2 \subseteq P(F)이므로 P(F)=W1+W2P(F) = W_1 + W_2이다.

26.

W1,W2W_1, W_2는 모두 Mm×n(F)M_{m \times n}(F)의 부분공간이다. (증명 생략)

  1. W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}임을 증명
    임의의 행렬 A∈W1∩W2A \in W_1 \cap W_2를 생각하자. AA의 ii행 jj열 성분 AijA_{ij}의 값은 다음과 같다.

    Aij={0,ifi>j0,ifi≤j=0A_{ij} = \begin{cases} 0,\quad if\quad i >j\\ 0,\quad if\quad i \leq j \end{cases} =0

    따라서 A=0A = 0이다. W1∩W2W_1 \cap W_2의 임의의 원소가 00이므로 W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}이다.

  2. Mm×n(F)=W1+W2M_{m \times n}(F) = W_1 + W_2임을 증명
    임의의 행렬 A∈Mm×nA \in M_{m \times n}을 생각해보자. S∈W1,T∈W2S \in W_1, T \in W_2에 대해, S,TS, T의 성분을 다음과 같이 정의한다.

    Sij={0,if(i>j)Aij,if(i≤j)Tij={Aij,if(i>j)0,if(i≤j)\begin{aligned} S_{ij} = \begin{cases} 0, &if\quad (i > j)\\ A_{ij}, &if\quad (i \leq j) \end{cases}\\ T_{ij} = \begin{cases} A_{ij}, &if\quad (i > j)\\ 0, &if\quad (i \leq j) \end{cases}\\ \end{aligned}

AA의 성분 AijA_{ij}는 다음과 같이 쓸 수 있다.

Aij={0+Aij,if(i>j)Aij+0,if(i≤j)={Sij+Tij,if(i>j)Sij+Tij,if(i≤j)=Sij+Tij\begin{aligned} A_{ij} &= \begin{cases} 0 + A_{ij}, &if\quad (i > j)\\ A_{ij} + 0, &if\quad (i \leq j)\\ \end{cases} \\ &= \begin{cases} S_{ij} + T_{ij}, &if\quad (i > j)\\ S_{ij} + T_{ij}, &if\quad (i \leq j)\\ \end{cases} \\ &= S_{ij} + T_{ij} \end{aligned}

따라서 AA 는 S+TS + T로 쓸 수 있다. Mm×n⊆W1+W2M_{m \times n} \subseteq W_1 + W_2다.
임의의 U∈W1,V∈W2U \in W_1, V \in W_2를 생각해보자. U,VU, V의 임의의 성분은 모두 FF의 원소다. 따라서 U+VU+V의 임의의 성분 (U+V)ij∈F(U+V)_{ij} \in F이다. 따라서 (U+V)∈Mm×n(F)(U + V) \in M_{m \times n}(F)이고, W1+W2⊆Mm×n(F)W_1 + W_2 \subseteq M_{m \times n} (F)다.

따라서 Mm×n(F)=W1+W2M_{m \times n}(F) = W_1 + W_2이다.

27.

  1. W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}임을 증명
    임의의 행렬 A∈W1∩W2A \in W_1 \cap W_2를 생각하자. AA의 ii행 jj열 성분 AijA_{ij}는 다음과 같이 쓸 수 있다.

    Aij={0,ifi≠j0,ifi=j0,ifi>jA_{ij} = \begin{cases} 0, &if\quad i \neq j\\ 0, &if\quad i = j\\ 0, &if\quad i > j \end{cases}

    따라서 AijA_{ij}의 모든 성분은 00일 수 밖에 없고, A=0A = 0이다. 임의의 W1∩W2W_1 \cap W_2의 원소가 00이므로 W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}이다.

  2. V=W1+W2V = W_1 + W_2임을 증명
    임의의 행렬 S∈W1,T∈W2S \in W1, T \in W2를 생각하자. S+TS+T의 성분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

    (S+T)ij={0,ifi>jSij,ifi=jTij,ifi<j(S+T)_{ij} = \begin{cases} 0, &if\quad i > j\\ S_{ij}, &if\quad i = j\\ T_{ij}, &if\quad i < j \end{cases}

    S+TS+T가 상삼각행렬이므로, 따라서 W1+W2⊆VW1 + W2 \subseteq V다.

이번에는 반대로 임의의 상삼각행렬 UU를 생각해보자. UU의 성분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

Uij={0+0,ifi>jUij+0,ifi=j0+Uij,ifi<jU_{ij} = \begin{cases} 0 + 0, &if\quad i > j\\ U_{ij} + 0, &if\quad i = j\\ 0 + U_{ij}, &if\quad i < j \end{cases}

이제 U1∈W1,U2∈W2U_1 \in W_1, U_2 \in W_2를 다음과 같이 정의하자.

U1ij={0,ifi>jUij,ifi=j0,ifi<j,U2ij={0,ifi>j0,ifi=jUij,ifi<j{U_1}_{ij} = \begin{cases} 0, &if\quad i > j\\ U_{ij}, &if\quad i = j\\ 0, &if\quad i < j \end{cases} ,\quad {U_2}_{ij} = \begin{cases} 0, &if\quad i > j\\ 0, &if\quad i = j\\ U_{ij}, &if\quad i < j \end{cases}

이제 U=U1+U2U = U_1 + U_2로 쓸 수 있고, U∈W1+W2U \in W_1 + W_2이다. 따라서 V⊆W1+W2V \subseteq W_1 + W_2이고, V=W1+W2V = W_1 + W_2다.

28.
  1. W1W_1이 Mn×n(F)M_{n \times n} (F)의 부분공간임을 증명
  • 영행렬 00에 대해, 0ij=−0ji=00_{ij} = -0_{ji} = 0이 성립하므로 0∈W10 \in W_1이다.
  • 임의의 두 행렬 A,B∈W1A, B \in W_1을 생각. 두 행렬의 ii행 jj열 성분 Aij,BijA_{ij}, B_{ij}에 대해 다음이 성립한다.
    (A+B)ijt=Aijt+Bijt=−Aji+(−Bji)=−(Aji+Bji)=−(A+B)ji=(−(A+B))ji(A + B)^t_{ij} = A^t_{ij} + B^t_{ij} = -A_{ji} + (-B_{ji}) = -(A_{ji} + B_{ji}) = -(A + B)_{ji} = (-(A+B))_{ji}
    따라서 W1W_1는 덧셈에 닫혀있다.
  • 임의의 행렬 A∈W1A \in W_1과 스칼라 a∈Fa \in F에 대해 다음이 성립한다.
    (aA)ijt=a(Aijt)=a(−Aji)=(−aA)ji(aA)^t_{ij} = a(A^t_{ij}) = a(-A_{ji}) = (-aA)_{ji}
    따라서 W1W_1은 스칼라 곱에도 닫혀있다.

따라서 W1W_1은 Mn×n(F)M_{n \times n}(F)의 부분공간이다.

  1. Mn×n(F)=W1⨁W2M_{n \times n}(F) = W_1 \bigoplus W_2임을 증명
  • W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}임을 증명

A∈W1A \in W_1이라 하자. Aji=−AijA_{ji} = -A_{ij}이다. 만약 A∈W2A \in W_2라 하면, Aji=AijA_{ji} = A_{ij}이다. 따라서 −Aij=Aij-A_{ij} = A_{ij}이고, Aij+Aij=0A_{ij} + A_{ij} = 0이다. 체 FF의 곱셈에 대한 항등원을 11이라 한다면, Aij+Aij=1⋅Aij+1⋅Aij=(1+1)AijA_{ij} + A_{ij} = 1 \cdot A_{ij} + 1 \cdot A{ij} = (1 + 1) A_{ij}이다. 그런데 FF의 지표가 2가 아니므로 (1+1)≠0(1+ 1) \neq 0이다. 따라서 AijA_{ij}가 00이다(소거법칙). 즉 W1∩W2W_1 \cap W_2의 임의의 원소가 갖는 모든 성분은 00이며, 따라서 W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}이다.

  • Mn×n(F)=W1+W2M_{n \times n} (F) = W_1 + W_2임을 증명
    W1+W2⊆Mn×n(F)W_1 + W_2 \subseteq M_{n \times n} (F)는 따로 증명할 필요가 없어보인다. 반대의 경우가 성립하는지 보자. M∈Mn×n(F)M \in M_{n \times n} (F)라 하자. MM에 대해 다음이 성립한다.
    M=12(M−Mt)+12(M+Mt)M = \frac{1}{2}(M - M^t) + \frac{1}{2}(M + M^t)
    이때 지표가 2가 아닌 체 FF에 대해, 12(M−Mt)ji∈W1\frac{1}{2}(M-M^t)_{ji} \in W_1이고, 12(M+Mt)∈W2\frac{1}{2}(M + M^t) \in W_2다. 임의의 원소인 MM을 W1,W2W_1, W_2의 원소의 합으로 나타낼 수 있으므로 M∈W1+W2M \in W_1 + W_2이고, Mn×n(F)⊆W1+W2M_{n \times n}(F) \subseteq W_1+W_2다. 즉 Mn×n(F)=W1+W2M_{n \times n} (F) = W_1 + W_2다.
29.

W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}의 증명은 생략한다. M∈Mn×n(F)M \in M_{n \times n}(F)라 하자. 다음과 같이 성분이 정의되는 행렬 A,BA, B를 생각하자.

Aij={Mij−Mji, (i>j)0, (i≤j), Bij={Mji, (i>j)Mij, (i≤j)A_{ij} = \begin{cases} M_{ij} - M{ji},\ (i >j)\\ 0,\ (i \leq j) \end{cases},\ B_{ij} = \begin{cases} M_{ji},\ (i > j)\\ M_{ij},\ (i \leq j) \end{cases}

A∈W1,B∈W2A \in W_1, B \in W_2이다. 임의의 원소 MM을 W1,W2W_1, W_2의 원소의 합으로 나타낼 수 있으므로 M∈W1+W2M \in W_1 + W_2이고, Mn×n(F)⊆W1+W2M_{n \times n}(F) \subseteq W_1 + W_2다. 즉 Mn×n(F)=W1+W2M_{n \times n}(F) = W_1 + W_2다.

30.

pf.(⇒)pf. (\Rightarrow)
VV가 W1,W2W_1, W_2의 직합이라 하자. x1+x2=v,x3+x4=vx_1 + x_2 = v, x_3 + x_4 = v라 하자. 단 x1,x3∈W1,x1≠x3x_1, x_3 \in W_1, x_1 \neq x_3이고 x2,x4∈W2,x2≠x+4x_2, x_4 \in W_2, x_2 \neq x+4라 하자. x1+x2=x3+x4x_1 + x_2 = x_3 + x_4이므로 x1−x3=x4−x2x_1 - x_3 = x_4 - x_2다. W1,W2W_1, W_2가 부분공간이므로 x1−x3∈W1,x4−x2∈W2x_1 - x_3 \in W_1, x_4 - x_2 \in W_2이고, x1−x3,x4−x2∈W1∩W2x_1-x_3, x_4-x_2 \in W_1 \cap W_2다. 그런데 VV가 W1,W2W_1, W_2의 직합이므로 W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}다. x1−x3=x4−x2≠0x_1-x_3 = x_4 - x_2 \neq 0이므로 이는 가정과 모순이 된다. 따라서 vv에 대한 서로 다른 표현은 있을 수 없고 유일하다.

pf.(⇐)pf.(\Leftarrow)
임의의 벡터 v∈Vv \in V에 대해 표현 v=x1+x2 (x1∈Wq,x2∈W2)v = x_1 + x_2\ (x_1 \in W_q, x_2 \in W_2)이 존재하므로 V=W1+W2V = W_1 + W_2다.

W1,W2W_1, W_2가 모두 부분공간이므로 0∈W1∩W20\in W_1 \cap W_2다. W1∩W2≠{0}W_1 \cap W_2 \neq \{0\}이라 가정하자. 즉 u≠0u \neq 0인 u∈W1∩W2u \in W_1 \cap W_2라 하자. u∈W1,u∈W2u \in W_1, u \in W_2이므로 v=x1+u+x2−uv = x_1 + u + x_2 - u라 쓸 수 있고, x1+u∈W1,x2−u∈W2x_1 + u \in W_1, x_2 - u \in W_2다. 이때 u≠0u \neq 0이므로 x1+u≠x1,x2−u≠x2x_1 + u \neq x_1, x_2 - u \neq x_2다. 만약 x1+u=x3,x2−u=x4x_1 + u = x_3, x_2 - u = x_4라 한다면 v=x3+x4v = x_3 + x_4로 쓸 수 있다. 이는 vv에 대한 표현 v=x1+x2v = x_1 +x_2이 유일하다는 가정과 모순이므로 u∉W1∩W2u \not\in W_1 \cap W_2여야 한다. 즉 W1∩W2={0}W_1 \cap W_2 = \{0\}이다.

V=W1+W2,W1∩W2={0}V = W_1 + W_2, W_1 \cap W_2 = \{0\}이므로, V=W1⨁W2V = W_1 \bigoplus W_2다.

31.

(a)
(⇒\Rightarrow) v+Wv +W가 VV의 부분공간이라고 하자. 0∈v+W0 \in v + W이고, 0=v+(−v)0 = v + (-v)로 쓸 수 있다. v+Wv+ W의 임의의 원소는 v+w(w∈W)v + w (w \in W)로 쓸 수 있으므로 −v∈W-v \in W다. WW가 VV의 부분공간이므로 −(−v)=v∈W-(-v) = v \in W다.
(⇐\Leftarrow) v∈Wv \in W라 하자. WW가 VV의 부분공간이므로 −v∈W-v \in W이고, 따라서 v+(−v)=0∈v+Wv + (-v) = 0 \in v + W다.

v+Wv + W의 임의의 원소 u1,u2u_1, u_2를 생각해보자. u1=v+w1, u2=v+w2u_1 = v + w_1,\ u_2 = v + w_2가 되는 w1,w2w_1, w_2가 WW에 있다. WW가 VV의 부분공간이고, v,w1,w2∈Wv, w_1, w_2 \in W이므로 w1+v+w2∈Ww_1 + v + w_2 \in W다. w1+v+w2w_1 + v + w_2를 w3w_3라 해보자. v+Wv+W의 임의의 두 원소 u1,u2u_1, u_2의 합 u1+u2u_1 + u_2는 v+w3v + w3라 쓸 수 있고, w3∈Ww_3 \in W이므로 u1+u2∈v+Wu_1 + u_2 \in v + W이다. 즉 v+Wv+W는 합에 닫혀있다.

v+Wv+W의 임의의 원소 uu를 생각해보자. a∈Fa \in F에 대해, au=a(v+w)=av+awau = a(v+ w) = av + aw라 쓸 수 있다(w∈Ww \in W). v∈Wv \in W이고 WW가 부분공간이므로 au∈Wau \in W이고, −v+au∈W-v + au \in W다. 따라서 v+(−v+au)=au∈v+Wv + (-v + au) = au \in v + W이다. 즉 v+Wv+W는 스칼라곱에도 닫혀있다. 따라서 v∈Wv \in W이면 v+Wv + W는 VV의 부분공간이다.

(b)
(⇒\Rightarrow) v1+W=v2+Wv_1 + W = v_2 + W라 해보자. 이때 v1+Wv_1 + W의 임의의 원소 v1+w1v_1 + w_1은 v2+w2v_2 + w_2로도 쓸 수 있다(w1,w2∈Ww_1, w_2 \in W). v1+w1=v2+w2v_1 + w_1 = v_2 + w_2이고, v1−v2=w2−w1v_1 - v_2 = w_2 - w_1이다. WW가 부분공간이므로 w2−w1∈Ww_2 - w_1 \in W다. 따라서 v1−v2∈Wv_1 - v_2 \in W다.

(⇐\Leftarrow) v1−v2∈Wv_1 - v_2 \in W라 하자. v1+Wv_1 + W의 임의의 원소는 v1+w1v_1 + w_1으로 쓸 수 있다. v1−v2∈Wv_1 - v_2 \in W이므로 v2−v1∈Wv_2 - v_1 \in W다. WW가 부분공간이므로 w1+v2−v1∈Ww_1 + v_2 - v_1 \in W이다. v1+w1+v2−v1=w1+v2∈v2+Wv_1 + w_1 + v_2 - v_1 = w_1 + v_2 \in v_2 + W이다. v1+Wv_1 + W의 임의의 원소가 v2+Wv_2 + W의 원소이므로 v1+W⊆v2+Wv_1 + W \subseteq v_2 + W다. 반대의 경우도 마찬가지로 증명할 수 있고, v1−v2∈Wv_1 - v_2 \in W이면 v1+W=v2+Wv_1 + W = v_2 + W임이 증명된다.

(c) 패스

(d)
벡터공간이 만족해야 하는 8가지 조건들을 모두 만족하는지 확인해야 한다. 이 중 (VS3)만을 증명하고, 나머지는 생략한다.
(VS3 증명) VV가 부분공간이므로 0∈V0 \in V이고, 0+W∈S0 + W \in S다. SS의 임의의 원소 v1+Wv_1 + W에 대해, (v1+W)+(0+W)=(v1+0)+W=v1+W(v_1 + W) + (0 + W) = (v_1 + 0) + W = v_1 + W다. 즉 SS에는 합에 대한 항등원인 0+W0 + W이 존재한다.

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Park Yeongseo
박가 영서라 합니다
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