[정수론] 정수론 기초 ~ 확장 유클리드 알고리즘

☝️ 서울대학교 권오남 교수님의 [정수론] 강의를 편집한 내용입니다. (링크 클릭 후 가입 시 수강 가능함)
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[1] Divisibility, Congruence

(1-1) 정의

• Divisibility (가분성. 나눌 수 있음)

  a, b가 정수일 때, a가 b를 나눈다는 것은 a * k = b가 되는 정수 k가 존재한다는 것이다

• Congruence (합동)

  a, b가 정수이고 n이 0보다 큰 정수일 때, a가 법 n에 대해 b와 합동이라는 것은 n이 a-b를 나눈다는 것이다.

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(1-2) 정리

아래에서 a, b, c는 모두 정수이고 n은 양의 정수.

• Theorem 1.1 ⭐
  $\begin{aligned} &(i) a|b이고\ a|c이면 a|(b+c)이다. \\ &(ii) a|b이고\ a|c이면 a|(b-c)이다.\ 즉,\ b \equiv c(\bmod a)이다. \end{aligned}$

• 증명

$(i)$
$a|b$이므로 어떤 정수 $k_1$에 대해 $b=ak_1$이다.
$a|c$이므로 어떤 정수 $k_2$에 대해 $c=ak_2$이다.
$b+c=(ak_1+ak_2)=a(k_1+k_2)$이고 $(k_1+k_2)$ 또한 정수이므로 $a | (b+c)$이다.$\square$

$(ii)$는 $(i)$과 마찬가지로 증명할 수 있다 $\square$

• Theorem 1.2. ⭐

  $\begin{aligned} &(i)\ a|b,\ a|c이면\ a|(bc)이다\\ &(ii)\ a|b이면\ a|(bc)이다 \end{aligned}$

• 증명은 생략

• Theorem 1.3.
  n이 0보다 큰 정수라고 하면 다음이 성립한다.

  $\begin{aligned} &(i)\ a \equiv a(\bmod n)\\ &(ii) a \equiv b(\bmod n)이면,\ b \equiv a(\bmod n)\\ &(iii) a \equiv b(\bmod n)이고\ b \equiv c(\bmod n)이면,\ a \equiv c(\bmod n) \end{aligned}$

• 증명

• Theorem 1.4.

• 증명

  $\begin{aligned} (i, +증명) &a\equiv b(mod\,n) \leftrightarrow n|(a-b). \,(a-b)=nk_1이\,되는\,k_1 \in \Z가\, 존재 \\&c \equiv d(mod\,n) \leftrightarrow n|(c-d).\,(c-d)=nk_2가\,되는\,k_2\in \Z가\, 존재 \\&(a-b)+(c-d)=nk_1+nk_2=n(k_1+k_2) \\&(a+c)-(b+d)=n(k_1+k_2) \\&n|((a+c)-(b+d)) \leftrightarrow(a+c) \equiv (b+d)(mod\,n)\square \\&(-도\,마찬가지로\,증명\,가능) \\(ii)\\&\exist k_1,k_2\in \Z s.t.,\,a-b=nk_1, c-d=nk_2. \\&a=nk_1+b, c=nk_2+d \\&ac=(nk_1+b)(nk_2+d) = (nk_1nk_2+nk_1d+nk_2b+bd) \\&=n(nk_1nk_2+k_1d+k2_b)+bd \\&ac-bd=n(nk_1nk_2+k_1d+k2_b) \\&n|(ac-bd) \leftrightarrow ac \equiv bd(mod\,n) \square \\(iii) \\& a\equiv b(mod\,n)에\,대해\,(ii)를\,활용해서\,증명\,가능함. \end{aligned}$

• Theorem 1.5.

  자연수 n과 m이 주어졌을 때, m을 n으로 나눈 몫과 나머지는 유일하게 존재한다. (정수에까지 확장 가능함.)

  $\begin{aligned} &(i)n과\,m이\,모두\,자연수일\,때, \,m=nq+r가\,되는\,r \in \N(0\leq r<n)가\,존재한다.(existence) \\&(ii)또한\,m=nq_1+r_1=nq_2+r_2를\,만족하는\,q_1,q_2,r_1,r_2 \in \Z(0\leq r_1, r_2<n)이\,존재한다면,\\& q_1=q_2, r_1=r_2이다.(uniqueness) \end{aligned}$

  증명은 생략
  

• Theorem 1.6.

  $\begin{aligned} &a \equiv b(mod\,n) \iff a와\,b가\,n으로\,나누었을\,때\,같은\,나머지를\,가짐.\\&즉,\,a \equiv b(mod\,n) \iff a=nq_1+r_1,\, b=nq_2+r_2이면\,r_1=r_2(단\,0 \leq r_1,r_2 < n) \end{aligned}$
  • 증명
    $\begin{aligned} (\rightarrow) \\&a \equiv b(mod\,n) \iff \exist k \in \Z, s.t.(a-b) = nk \\&b = a - nk = (nq_1+r_1) - nk = n(q_1 - k) + r_1 = nq_2+ r_2. \\ &\therefore r_1 = r_2 \\(\leftarrow) \\&a=nq_1+r_1, b=nq_2+r_2이므로\,a-b=nq_1-nq_2 = n(q_1 -q_2) \\ &\therefore n | (a-b),\, a \equiv b(mod\,n) \\& \end{aligned}$

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[2] Greatest Common Divisor

(2-1) 정의

• Common Divisor(공약수) ⭐ 정수 a, b의 공약수 d는 $d|a, d|b$인 정수이다.
  
• Greatest Common Divisor(최대공약수) ⭐ 정수 a, b의 최대공약수 d는 공약수 중 가장 큰 공약수이다. d = (a, b)로 표기
  

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(2-2) 정리

• Theorem 2.1. ⭐
  $a, n, b, r, k가\,정수라고\,하자. \\만약 a=nb+r이고\,k|a,k|b이면,k|r이다.$
  • 증명
    $\begin{aligned} &k|a,\,k|b이므로\,a=kc_1, b=kc_2라고\,하자. \\&a=nb + r이므로\,kc_1=nkc_2+r이고,\\&r=kc_1-nkc_2=k(c_1-nc_2)이다. \\&(c_1-nc_2) = c^*라고\,할\,때,\,c^* \in\Z이므로 k|r이다. \square \end{aligned}$
• Theorem 2.2. ⭐
  $\begin{aligned} &a, b, n, r_1가\,정수라고\,하자. \\&만약 a = nb + r_1이면 (a, b)=(b,r_1)이다. \end{aligned}$
  • 증명
    $\begin{aligned} \\&C = \{c | (c|a) \& (c|b)\}, D =\{d|(d|b)\&(d|r)\}라고\,하자. \\(\subseteq)&Theorem2.1.에\,따라\,C의\,임의의\,원소\,c는\,d의\,원소이므로,\,C \subseteq D이다. \\(\supseteq)&D의\,임의의\,원소\,d에\,대해,\,d|b이고\,d|r이다.\, \\&Theorem1.2에\,따라\,d|b이므로\,d|bn_1이고\, \\&Theorem1.1에\,따라\,d|bn_1이고\,d|r이면\,d|bn_1+r,\,즉 d|a이다. \\&D의\,임의의\,원소\,d \in C이므로,\,D \subseteq C이다. \\(\therefore)&C\subseteq D, D\subseteq C이므로\,C=D이고,\,따라서 C의\,최댓값=D의\,최댓값이다. \\&즉 a,b의\,최대공약수는\,b,r의\,최대공약수이다. \square \end{aligned}$

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(2-3) Euclidean Algorithm ⭐⭐

Theorem2.2에 따라 정수 a, b의 최대공약수 (a,b)를 구하는 알고리즘이다.

• Q. 그냥 소인수분해 해서 구하면 안되나요? A. 작은 수면 할 수도 있겠지만, 소인수를 구하는 다항식 시간 알고리즘이 아직은(?) 발견되지 못했습니다. [소인수분해] ← 이 문서를 참고.
  작은 수면 모르겠지만 큰 수에 대해서는 소인수 분해를 적용하기가 힘든데, 유클리드 알고리즘을 이용하면 확실히 두 수의 최대공약수를 구할 수 있음!
  
• 유클리드 알고리즘 (설명)
  $a = bn_1+r_1이라고\,하자.\,(a,b)=(b,r_1)이다. \\b = q_2r_1 + r_2라고\,하자.\,(b,r_1) = (r_1, r_2)이다. \\r_1 = q_3r_2 + r_3이라고\,하자.\,(r_1,r_2)=(r_2,r_3)이다. \\... \\위\,작업을\,r_{n-1} = q_{n+1}r_{n} + r_{n+1}에\,대해\,r_{n+1}가\,0이\,될\,때까지\,반복한다. \\이때\,얻을\,수\,있는\,0이\,아닌\,가장\,작은\,정수\,r_n이\,바로\,(a,b)이다.$
• 위 알고리즘을 그대로 c++ 코드로 쓰면 다음과 같다

  int gcd(int a, int b){
      int dividend = a;
      int divisor = b;
      int quotient;
      int remainder;
  
      while (a && b){
          quotient = dividend / divisor;
          remainder = dividend % divisor;
          printf("%d = %d * %d + %d\n", dividend, quotient, divisor, remainder);
          if (remainder == 0) return divisor;
          dividend = divisor;
          divisor = remainder;        
      }
      return -1; //입력 a, b 중 하나라도 0인 경우 -1을 리턴해서 연산이 제대로 되지 않았음을 표시했습니다.
  }

  int gcd(int a, int b){//재귀를 이용한 코드
      if (b == 0) return a;
      return gcd(b, a%b);
  }

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[3] Linear Diophantine Equations & Bezout’s Identity (증명은 나중에…)

(3-1) 정리(1)

• Theorem 3.1.
  $a, b가\,정수라고\,하자. \\a,b가\,서로소이다. \iff \exist x,y \in \Z, s.t.,ax+by = 1$
  • 증명
    $$
• Theorem 3.2. ⭐
  $0이\,아닌\,두\,정수\,a,b에\,대해,\,다음을\,만족하는\,두\,정수\,x,y가\,존재한다. \\ax+by = (a,b)$
• Theorem 3.3. (Euclid’s Lemma)
  $정수\,a,b,c에\,대해,\,만약\,a|bc이고,a와\,b가\,서로소이면\,a|c이다.$
• Theorem 3.4.
  $a,b,n이\,정수라\,하자. \\a|n,\,b|n,\,(a,b)=1이면\,ab|n이다.$
• Theorem 3.5.
  $(a,n)=1,\,(b,n)=1이면\,(ab,n)=1이다.$
• Theorem 3.6.
  $a,b,c,n이\,정수이고,\,n>0이라\,하자. \\ac \equiv bc(mod\,n)이고\,(c,n)=1이면\,a\equiv b(mod\,n)이다.$

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(3-2) 정리(2)

• Theorem 3.7. ⭐
  $a,b가\,0이\,아닌\,정수이고\,c가\,정수이면\,다음을\,만족하는\,정수\,x,y가\,존재한다. \\ax+by=c \iff (a,b)|c$
• Theorem 3.8.
  $a,b,c,x_0,y_0이\,ax_0+by_0=c인\,정수라\,하자 \\x=x_0+b/(a,b),\,y=y_0-a/(a,b)인\,정수\,x,y\,또한\,ax+by=c를\,만족한다.$
• Theorem 3.9.
  $ax_0+by_0=c라면,\,임의의\,정수\,k에\,대해, \\정수\,x=x_0+kb/(a,b),\,y=y_0-ka/(a,b)\,또한\,ax+by=c를\,만족한다. \\또한,\,ax+by=c의\,모든\,해들은\,위와\,같은\,형태로\,나타난다.$

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(3-3) 확장 유클리드 알고리즘 ⭐

Theorem 3.7.에서 $ax+by=c$이면 $(a,b)|c$임을 보였다.
확장 유클리드 알고리즘은 $(a,b)$를 구하면서 동시에 $ax+by=(a,b)$가 되는 정수 x, y를 구하는 알고리즘이다.
유클리드 알고리즘을 다시 살펴보면 다음과 같다.

이렇게 유클리드 알고리즘에서 보이는 모든 나머지들은 $a$와 $b$의 일차결합($ax + by$의 꼴)으로 나타낼 수 있다.
이를 일반화해 다음과 같이 표현하자.

여기서 $a$ 를 $r_{-1}$, $b$를 $r_0$이라고 하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

유클리드 알고리즘에서 $r_{n-1} = q_{n+1}r_n + r_{n+1}$임을 얻었으니, 우리는 다음과 같은 점화식을 얻을 수 있다.

우리가 알고 싶은 건 $r_n = ax+by$가 되는 $x,\,y$값(즉 $s_n, t_n$)이고, 이는 위의 점화식을 이용해 구할 수 있다!

• CODE

  /*
  ax + by = (a,b)가 되는 
  {{x, y}, (a,b)}를 찾는 함수
  */
  pair<pair<int,int>, int> extendedGCD(int a, int b){
      int dividend = a, divisor = b;
      int quotient, remainder;
      int s_prev = 1, s_cur = 0, s_next;
  		int t_prev = 0, t_cur = 1, t_next;
  		
      while (a && b){
          quotient = dividend / divisor;
          remainder = dividend % divisor;
          if (remainder == 0) return {{s_cur, t_cur}, divisor};
          s_next = s_prev - quotient * s_cur;
          t_next = t_prev - quotient * t_cur;
          s_prev = s_cur, s_cur = s_next;
          t_prev = t_cur, t_cur = t_next;
          dividend = divisor;
          divisor = remainder;
      }
      return {{-1, -1}, -1}; //잘못된 입력의 경우
  }

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  끝!