📖 『Rudin: Principles of Mathematical Analysis』 Ch.1 (Introduction~1.11)

✅ Introduction (실수 체계의 필요성)

• 유리수 체계($\mathbb{Q}$)는 불완전(incomplete) 하다.
• 예를 들어, 수열 $a_n = 1, 1.4, 1.41, 1.414, \dots$ 은 $\sqrt{2}$ 로 수렴하는 것처럼 보인다.
• 하지만 이 극한값인 $\sqrt{2}$ 는 유리수 집합 $\mathbb{Q}$ 안에는 존재하지 않는다.
  • 그렇다면 $\sqrt{2}$ 는 대체 무엇일까?
  • 그리고 "수렴한다(converge)"는 개념을 어떻게 정확히 정의할 수 있을까?

이러한 질문이 바로 실수(real number) 개념을 필요로 하는 근본적인 이유이다.

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✅ 1.1 Example

우선, 다음 명제를 생각하자:
명제: 방정식 $p^2 = 2$ 을 만족하는 유리수 $p$ 는 없다.

이 명제는 귀류법(proof by contradiction) 으로 증명할 수 있다. (증명은 생략)

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추가적인 관찰 (Further Observations)

1. 두 개의 유리수 집합 $A, B$ 를 다음과 같이 정의한다:

이때, A와 B의 교집합은 없으며 합집합은 유리수 전체다.

2. 임의의 $p \in A$ 를 선택한 후, 아래와 같은 새로운 수 $q$ 를 정의하자:

그러면 이때, 다음 식이 성립한다:

3. 여기서 분모는 항상 양수이므로, 분자의 부호가 전체 부호를 결정한다.
우리가 고른 $p \in A$ 는 정의상 $p^2 < 2$ 이므로, $p^2 - 2 < 0$ 이다. 따라서:

• $q^2 - 2 < 0 \quad\Rightarrow\quad q^2 < 2 \quad\Rightarrow\quad q \in A$

또한:

• $\frac{p^2 - 2}{p + 2} < 0$ 이므로, 원래 정의된 식 $q = p - \frac{p^2 - 2}{p + 2}$ 에서 빼는 값이 음수이다.
• 따라서 $q > p$ 이다.

4. 즉, 임의의 $p \in A$에 대해서 항상 더 큰 유리수 $q \in A$ 를 찾을 수 있다.
이로써 집합 $A$ 는 절대로 최댓값(maximum)을 가지지 않음을 보였다.

5. 같은 방법으로, 집합 $B$ 도 최솟값(minimum)을 가지지 않음을 쉽게 확인할 수 있다.

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✅ 증명의 결론과 의미:

• 우리는 유리수 전체를 두 집합 $A$ 와 $B$ 로 명확히 나누었다.
• 하지만 흥미롭게도 $A$ 의 최댓값과 $B$ 의 최솟값이 모두 존재하지 않는다.
• 분명히 두 집합 사이에는 어떤 수가 존재해야 할 것 같은데, 그 수는 유리수가 될 수 없다.
• 즉, 두 집합 사이의 "gap(빈틈)"이 존재하며, 이것이 바로 유리수 체계가 불완전하다는 증거이다.

🔑 요약:

유리수 집합($\mathbb{Q}$)은 밀도성(density)을 갖지만(모든 유리수쌍 사이에는 항상 또 다른 유리수 존재), 완비성(completeness)을 갖지 않는다.
그래서 우리는 이 빈틈을 채워주는 더 확장된 체계인 "실수 체계(real number system)"가 필요하다.

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✅ 1.3 Definitions

• 집합 $A$가 집합 $B$의 부분집합(subset) 이라는 것은,
  집합 $A$의 모든 원소가 집합 $B$에도 포함됨을 의미하며, 다음과 같이 나타낸다:

• 만약 $A \subset B$이면서 $A \ne B$인 경우, 즉,
  $A$의 모든 원소가 $B$에 포함되지만 $B$에 속한 원소 중 적어도 하나는 $A$에 속하지 않는 경우를
  $A$는 $B$의 진부분집합(proper subset) 이라 부른다.

• 중요:

만약 $A \subset B$이고 동시에 $B \subset A$라면

$A = B$

라고 쓴다.
그렇지 않은 경우는 $A \ne B$라고 표기한다.

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✅ 1.5 Order (순서)

집합 $S$ 위의 순서(order) 는 다음의 두 가지 성질을 만족하는 관계(relation) 이며, 일반적으로 "$<$"로 나타낸다.

(i) 집합 $S$의 임의의 원소 $x, y$에 대해서 다음의 세 가지 명제 중 정확히 하나만 성립한다.

즉, 임의의 두 원소를 비교하면 항상 명확히 크거나, 작거나, 같거나 중 하나만 성립해야 한다.

(ii) 집합 $S$의 임의의 원소 $x, y, z$에 대해, 만약 $x < y$이고 $y < z$라면, 다음이 성립한다.

즉, 순서 관계는 추이적(transitive) 이다.

💡 cf. 관계 (relation)

수학에서 말하는 관계(relation) 란 두 집합 $A$, $B$에 대해
순서쌍 $(a, b)$들의 모임, 즉 $R \subset A \times B$인 어떤 부분집합을 의미한다.
이것은 "$a$와 $b$가 어떤 방식으로 연결되어 있다"는 것을 수학적으로 나타내는 방법이다.

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✅ 1.6 Ordered Set (순서집합)

위에서 정의한 순서(order)가 부여된 집합을 순서집합(ordered set)이라 부른다.

즉, 집합 $S$가 순서집합이라는 것은, 집합 $S$ 위에 앞선 두 조건(i, ii)을 만족하는
명확한 순서 관계("$<$")가 정의되어 있다는 것을 의미한다.

✅ 1.7 Upper Bound & Lower Bound (상계/하계) (★)

집합 $S$가 순서집합(ordered set) 이고, $E \subset S$라고 하자.

만약 어떤 원소 $\beta \in S$가 존재하여,
모든 $x \in E$에 대해 $x \leq \beta$를 만족한다면,
우리는 집합 $E$가 위로 유계(bounded above) 라고 하고,
그러한 $\beta$를 $E$의 상계(upper bound) 라고 부른다.

하계(lower bound) 는 이와 비슷하게,
어떤 $\alpha \in S$가 모든 $x \in E$에 대해 $\alpha \leq x$를 만족하면 $\alpha$를 $E$의 하계라고 부른다.

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✅ 1.8 Supremum & Infimum (상한/하한) (★)

집합 $S$가 순서집합(ordered set)이고 $E \subset S$이며 $E$가 위로 유계(bounded above) 라고 하자.
이때 다음 조건을 만족하는 어떤 $\alpha \in S$가 존재한다면,
우리는 $\alpha$를 집합 $E$의 최소 상계(least upper bound) 또는 상한(supremum) 이라 하고, 다음과 같이 쓴다:

조건:

1. $\alpha$는 $E$의 upper bound(상계) 이다.
   (즉, 모든 $x \in E$에 대해 $x \leq \alpha$)

2. 임의의 $\gamma < \alpha$는 $E$의 upper bound(상계)가 아니다 .
   (즉, $\gamma < \alpha$이면 어떤 $x \in E$가 존재하여 $x > \gamma$이다.)

→ 이러한 $\alpha$는 최소 상계 이므로 유일하게 존재함이 '조건 2' 로부터 자명하다.

• 하한(infimum) 또는 최대 하계(greatest lower bound)는 동일한 방식으로 정의된다.

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✅ 예시 (from 1.1)

• 앞서 등장했던 집합 $A = \{ p \in \mathbb{Q} \mid p^2 < 2 \}$의 경우,
  $A$의 모든 상계는 $B = \{ p \in \mathbb{Q} \mid p^2 > 2 \}$의 원소들과 정확히 같다.
  즉, $B$가 $A$의 upper bounds를 구성한다.

• 하지만 $B$는 $\mathbb{Q}$에서 최솟값을 가지지 않으므로,
  $A$는 $\mathbb{Q}$ 내에서는 least upper bound (즉, $\sup A$)를 가지지 않는다.

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💡 보충 설명

• 일반적으로 $\alpha = \sup E$가 존재할 때, $\alpha$는 $E$의 원소일 수도 있고 아닐 수도 있다.
  • $\alpha \in E$인 경우 → $\sup E$는 최댓값(maximum)이다.
  • $\alpha \notin E$인 경우 → $E$는 상한을 가지지만, 최댓값은 없다.

✅ 1.10 Least-upper-bound property (최소 상계 성질) (★)

순서집합 $S$가 최소 상계 성질(least-upper-bound property) 을 만족한다는 것은 다음을 의미한다:

• 임의의 공집합이 아닌 부분집합 $E \subset S$가 위로 유계(bounded above)일 때,
  반드시 $E$의 상한(supremum), 즉 $\sup E$가 집합 $S$ 안에 존재한다.

예시
앞서 살펴본 바와 같이, 유리수 집합 $\mathbb{Q}$는 최소 상계 성질을 만족하지 않는다.
(예: 집합 $A = \{ p \in \mathbb{Q} \mid p^2 < 2 \}$는 $\mathbb{Q}$ 내에서 위로 유계(bounded above)이지만 $\sup A$를 갖지 않음.)

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✅ 1.11 Least-upper-bound property와 Greatest-lower-bound theory의 관계 (★★)

Least-upper-bound theroy 을 만족하는 모든 순서집합(ordered set)은 Greatest-lower-bound property(최대 하계 성질) 도 만족한다.

조금 더 엄밀히 서술하면:

• 순서집합(Ordered Set) $S$가 Least-upper-bound property를 가진다고 하자.
• 공집합이 아닌 부분집합 $B \subset S$가 아래로 유계(bounded below)라고 하자.
• 집합 $B$의 모든 하계(lower bound)를 모은 집합을 $L$이라 하면,
  $\alpha = \sup L$
  가 반드시 집합 $S$ 안에 존재하며, 이때 다음이 성립한다:
  $\alpha = \inf B$

즉, 집합 $B$의 하한(infimum) 이 존재함을 의미한다.

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📌 Proof (증명)

• $B$가 아래로 유계(bounded below)이므로, 하계들의 집합인 $L$은 비어있지 않다(적어도 하나의 원소를 가짐).
• $L$은 정확히 집합 $B$의 모든 원소 $x \in B$에 대해 $y \leq x$ 를 만족하는 원소 $y \in S$로 이루어져 있다.
  즉, $B$의 모든 원소 $x$는 $L$의 상계(upper bound)가 된다. 그러므로 $L$은 위로 유계(bounded above)이다.
• 최소 상계 성질(Least-upper-bound property) 가정에 따라 $L$은 $S$ 안에서 supremum을 가진다. 이를 $\alpha$라고 하자.

이제 다음 두 가지를 보이면 된다.

1. $\alpha$가 실제로 집합 $B$의 하계임을 보이자.

   만약 $\gamma < \alpha$ 라면, 정의에 따라 $\gamma$는 $L$의 upper bound가 될 수 없다.
   즉, $\gamma \notin B$임을 의미하며( $B$ 의 모든 원소는 L의 upper bound이기 때문),
   따라서 $B$의 모든 원소 $x$는 $\gamma$보다 크거나 같아야 하므로, 자연스럽게 모든 $x \in B$에 대해 $\alpha \leq x$가 성립한다. 즉, $\alpha$는 $B$의 하계이며, $\alpha \in L$이다.

2. $\alpha$가 $B$의 최대 하계임을 보이자.

   만약 어떤 $\beta > \alpha$가 있다면, $\alpha$가 $L$의 상계(supremum)이기 때문에 $\beta$는 더 이상 $L$에 포함될 수 없다. 따라서 $\beta$는 $B$의 하계가 아니다.

   즉, $\alpha$는 $B$의 하계 중 가장 큰 최대 하계가 된다. 이로써 $\alpha = \inf B$임이 증명된다.

이로써 Least-upper-bound property를 만족하는 집합이 Greatest-lower-bound property도 만족함을 보였다 $\square$