📖 『Rudin: Principles of Mathematical Analysis』 Ch.1 (1.19~Appendix)

✅ 1.19 The Real Field

• 체(Field): 두 연산(덧셈, 곱셈)이 정의된 집합 $F$로서, 각각에 대해 항등원, 역원, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 모두 성립한다.
• 순서체(Ordered field): 체 $F$에 "<"라는 순서 관계가 추가되어, 크기 비교가 가능함.

🔸 Theorem

There exists an ordered field $\mathbb{R}$ with the least-upper-bound property. Moreover, $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

이 체 $\mathbb{R}$의 원소들을 실수(real numbers)라 부른다.

• 이 정리는 우리가 해석학을 전개할 수 있는 완비 공간 $\mathbb{R}$의 존재를 보장한다.
• $\mathbb{R}$의 구성은 Appendix에서 다룬다 (Dedekind cut).

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✅ 1.20 Archimedean Property & Density of $\mathbb{Q}$

🔸 Thm (a) - Archimedean Property

If $x > 0$ and $y \in \mathbb{R}$, then there exists a positive integer $n$ such that $nx > y$.

✏️ Proof

1. Proof by contradiction: 모든 정수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $nx \leq y$ 가정.

2. 그러면 집합 $A = \{ nx \mid n \in \mathbb{N} \}$는 upper bounded(위로 유계) 이다.

3. 따라서 $\alpha = \sup A$ 가 존재함 ($\mathbb{R}$의 least-upper-bound property에 의해)

4. 그런데 $x > 0$이므로 $\alpha - x < \alpha$

5. $\alpha$는 supremum(상한)이므로, $\alpha - x$는 upper bound(상계)가 아님.
   즉, 어떤 $n \in \mathbb{N}$에 대해

   $nx > \alpha - x$

6. 따라서

   $(n + 1)x > \alpha$

   하지만 $(n + 1)x \in A$이고, $\alpha$는 $A$의 상한인데, 이를 초과하는 원소가 존재한다는 것은 모순

$\therefore$ 가정이 잘못되었으므로, $nx > y$를 만족하는 어떤 $n \in \mathbb{N}$ 가 항상 존재한다 . $\quad \blacksquare$

🔸 Thm (b) - $\mathbb{Q}$ is dense in $\mathbb{R}$

If $x < y$, then there exists a rational number $p$ such that $x < p < y$.

✏️ Proof

$y - x > 0$이므로, Archimedean 성질에 의해 $n \in \mathbb{N}$이 존재하여 $n(y - x) > 1$.
즉, $nx < ny - 1$, 이 사이에는 정수 $m$이 존재하므로 $nx < m < ny$.
양변을 $n$으로 나누면 $x < \frac{m}{n} < y$, 이때 $\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$.
→ 유리수는 실수 사이에 항상 존재한다. $\quad \blacksquare$

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✅ 1.21 $n$제곱근의 존재와 유일성

🔸 Theorem

For every real number $x > 0$ and every integer $n > 0$, there exists a unique real number $y > 0$ such that $y^n = x$.

✏️ Proof (Existence)

1. $A = \{ t \mid 0 < t^n < x \}$ 라는 집합을 생각하자.

2. $A$는 공집합이 아님
   → $x > 0$이므로 $t = \frac{x}{2}$ 같은 값은 $t^n < x$를 만족

3. $A$는 위로 유계
   → 예를 들어 $x + 1$ 같은 값은 $(x+1)^n > x$이므로 $A$의 상계

4. 따라서 $A \subset \mathbb{R}$는 위로 유계인 실수 부분집합
   → $\mathbb{R}$은 least-upper-bound property를 가지므로:

   $y = \sup A$

   이 존재함

5. 이제 $y^n = x$임을 보이자.

   • 만약 $y^n < x$이면, $y + \epsilon \in A$가 되어 $y$보다 큰 상한이 생김 → 모순
   • 만약 $y^n > x$이면, $y - \epsilon$은 $A$의 상계가 되는데 $y$보다 작음 → 모순

$\Rightarrow$ 따라서 $y^n = x$

✏️ Proof (Uniqueness)

함수 $f(t) = t^n$은 $t > 0$에서 단조 증가하므로, $f(t_1) = f(t_2)$이면 $t_1 = t_2$이다.
→ 따라서 해는 유일하다. $\quad \blacksquare$

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🔸 Corollary

If $a > 0$, $b > 0$ and $n \in \mathbb{N}$, then

$(ab)^{1/n} = a^{1/n} \cdot b^{1/n}$

✏️ Proof (Sketch)

양변을 $n$제곱하면:

→ 양변의 $n$제곱이 같고 양수이므로 원래 수들도 같다. $\quad \blacksquare$

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✅ 정리 요약

• $\mathbb{R}$은 순서체이며, least-upper-bound property를 만족하는 유일한 체이다.
• Archimedean 성질은 $\mathbb{R}$의 수들이 무한히 커질 수 있음을 보장한다.
• 유리수는 실수 사이에 항상 존재한다 → $\mathbb{Q}$는 $\mathbb{R}$에서 조밀(dense)하다.
• 실수는 모든 양의 수에 대해 $n$제곱근을 갖고, 이는 유일하다.

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✅ 1.36 Euclidean Spaces

양의 정수 $k$에 대해, $\mathbb{R}^k$는 다음과 같은 모든 $k$-tuple의 집합이다:

이때, 각 $x_i$는 좌표(coordinate) 라고 하며,
$\mathbb{R}^k$의 원소 $x$는 보통 점(point) 또는 벡터(vector) 라고 부른다.
($k = 1$일 때는 실수 직선, $k = 2$는 평면, $k = 3$은 3차원 공간을 의미함)

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🔸 Inner Product (내적)

임의의 $x = (x_1, ..., x_k)$, $y = (y_1, ..., y_k) \in \mathbb{R}^k$에 대해
내적(inner product) 은 다음과 같이 정의한다:

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🔸 Norm (벡터의 크기)

벡터 $x \in \mathbb{R}^k$의 노름(norm), 또는 크기(magnitude) 는 다음과 같다:

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✅ 1.37 Thm: 노름과 내적의 기본 성질

임의의 $x, y, z \in \mathbb{R}^k$, 스칼라 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다:

• $\quad |x| \geq 0$
• $\quad |x| = 0 \iff x = 0$
• $\quad |\alpha x| = |\alpha||x|$
• $\quad |x \cdot y| \leq |x||y|$ (Cauchy-Schwarz 부등식)
• $\quad |x + y| \leq |x| + |y|$ (삼각부등식)
• $\quad |x - z| \leq |x - y| + |y - z|$ (거리의 삼각부등식)

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✅ 1.38 Rmk: $\mathbb{R}^k$는 metric space(거리 공간)

위 정리 1.37의 결과 중 (a), (b), (f)는
$\mathbb{R}^k$가 metric space (거리공간) 으로 다뤄질 수 있음을 보장한다.

💡 metric space (거리공간)

"점들 사이의 거리(distance)" 를 정의할 수 있는 공간

• 두 점 $x, y \in \mathbb{R}^k$ 사이의 거리 $d(x, y)$를 다음과 같이 정의:

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✅ Appendix

유리수 집합($\mathbb{Q}$)에서 실수 집합($\mathbb{R}$)을 구성하는 Dedekind 절단(Dedekind Cut) 방식을 정리한다.

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📌 Step 1: Dedekind Cut의 정의

Dedekind 절단(Dedekind Cut) 이란, 유리수 집합 $\mathbb{Q}$의 부분집합 $\alpha$로 다음 세 조건을 만족하는 것을 말한다.

1. $\alpha \ne \emptyset$, $\alpha \ne \mathbb{Q}$
2. 만약 $p \in \alpha$이고 $q < p$이면, $q \in \alpha$
3. $\alpha$는 최대 원소를 갖지 않는다.

직관적으로 생각하면 cut은 유리수로 이뤄진 오른쪽이 열린 반직선으로 생각해볼 수 있다.
이후 $\mathbb{Q}$의 모든 cut의 집합을 $\mathbb{R}$ 로 표기한다.

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📌 Step 2: $\mathbb{R}$의 순서 관계 정의

두 cut $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$에 대해 다음과 같이 순서 관계를 정의한다.

이 순서는 다음 성질을 만족하여, $\mathbb{R}$을 ordered set(순서집합) 으로 만든다.

• $\alpha < \beta$이고 $\beta < \gamma$이면 $\alpha < \gamma$
• $\alpha < \beta$, $\alpha = \beta$, $\beta < \alpha$ 중 오직 하나만 성립

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📌 Step 3: Least Upper Bound Property

$\mathbb{R}$의 임의의 공집합이 아닌 부분집합 $S$가 bounded above(위로 유계)라고 하자. 그러면 다음을 보일 수 있다.

• 집합의 supremum(상한)
  $\sup S = \bigcup S$는 역시 cut이 된다.
• 즉, $\mathbb{R}$은 Least-upper-bound property를 가지는 집합이다.

이 성질을 통해 $\mathbb{R}$은 완비성을 갖게 된다.

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📌 Step 4: 유리수의 포함 관계

임의의 유리수 $r \in \mathbb{Q}$에 대해 다음과 같은 Dedekind 절단을 정의하자.

이때, 유리수 $r$을 이렇게 구성된 절단으로 표현하면,
$\mathbb{Q}$는 자연스럽게 $\mathbb{R}$의 부분집합으로 포함된다.

💡 보충 설명

1. $\mathbb{Q} \cong \mathbb{Q}^*$
   (유리수 $\mathbb{Q}$와 절단으로 표현된 집합 $\mathbb{Q}^*$는 순서체로서 동형이다)
   ⇒ 덧셈, 곱셈, 순서 관계까지 보존하는 isomorphism이 존재한다.

2. $\mathbb{Q}^* \subset \mathbb{R}$
   ⇒ 각 $r^* \in \mathbb{Q}^*$는 Dedekind cut이므로 실수 $\mathbb{R}$의 원소이다.

3. $\therefore\ \mathbb{Q} \cong \mathbb{Q}^* \subset \mathbb{R}$
   ⇒ $\mathbb{Q}$는 $\mathbb{R}$ 안에 자연스럽게 포함(embedding)되며,
   이 포함은 단순한 집합 이론적 포함이 아니라 구조(덧셈, 곱셈, 순서)를 보존하는 포함이다.

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📌 Step 5: 덧셈의 정의

두 실수 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$에 대한 덧셈은 다음과 같이 정의한다.

이 덧셈은 다음 성질을 만족한다.

• 닫혀있음(closed)
• 결합법칙(associativity), 교환법칙(commutativity)을 만족

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📌 Step 6: 곱셈의 정의

두 양의 실수 $\alpha, \beta > 0$에 대해서 곱셈을 다음과 같이 정의한다.

부호가 다른 실수의 곱셈은 자연스러운 부호 규칙을 적용하여 확장할 수 있다. 이 곱셈도 체의 공리를 만족한다.

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📌 Step 7: 덧셈 역원의 정의 (음수)

각 실수 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 음수를 다음과 같이 정의한다.

이렇게 정의된 덧셈의 역원은 다음을 만족한다.

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📌 Step 8: 곱셈 역원의 정의

양의 실수 $\alpha \in \mathbb{R}$의 곱셈의 역원을 다음과 같이 정의한다.

이때 곱셈 역원은 다음과 같은 성질을 만족한다.

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📌 Step 9: 체(Field)의 성질 확인

위의 과정을 통해 구성한 덧셈과 곱셈 연산이 다음의 체의 공리를 만족함을 확인할 수 있다.

• 덧셈과 곱셈의 교환법칙과 결합법칙 성립
• 분배법칙 성립
• 덧셈 항등원(0)과 곱셈 항등원(1) 존재
• 모든 원소는 덧셈 역원을 가짐
• 0을 제외한 모든 원소는 곱셈 역원을 가짐

따라서, $\mathbb{R}$은 순서체이면서 최소 상계 성질을 갖는 완비체(complete ordered field)가 된다.

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💡 결론

이렇게 Dedekind 절단을 통해 유리수에서 실수를 엄밀히 구성할 수 있게 된다.