📖 『Rudin: Principles of Mathematical Analysis』 Ch.2 (2.21~2.25)

✅ 2.21 Examples — 각각의 위상적 성질 정밀 분석 (Closed / Open / Perfect / Bounded)

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(a) 집합: $\{ z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1 \}$

• Closed: X
  → $|z| = 1$에 있는 점들은 이 집합의 limit point이지만 포함되지 않음.

• Open: O
  → 임의의 점 $p$에 대해, 반지름 $\varepsilon = 1 - |p|$인 neighborhood $N_\varepsilon(p)$가 집합에 완전히 포함됨.
  → 모든 점이 interior point.

• Perfect: X
  → closed가 아니므로 perfect일 수 없음.

• Bounded: O
  → 모든 점 $z$에 대해 $|z| < 1$이므로, 중심 0, 반지름 1인 ball 안에 포함됨.

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(b) 집합: $\{ z \in \mathbb{C} \mid |z| \le 1 \}$

• Closed: O
  → 극한값이 $|z| = 1$인 수열들이 모두 이 집합 안에 수렴함. 모든 limit point 포함.

• Open: X
  → 경계점 $z$ such that $|z| = 1$는 interior point가 아님.

• Perfect: O
  → 집합은 닫혀 있고, 모든 점이 limit point.
  → 예: 원판 내부의 점들 근처에는 언제나 다른 점들이 있음. 경계의 점도 limit point.

• Bounded: O
  → 모든 $z$에 대해 $|z| \le 1$이므로 유계.

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(c) 집합: 유한 집합, 예: $\{(1, 0), (2, 0)\}$

• Closed: O
  → 유한 집합은 limit point가 없음. (2.20 Corollary) 따라서 vacuously closed(공허하게 닫힘; 가정이 거짓이므로 항상 참).

• Open: X
  → 어떤 점 $p$에 대해 반지름 $\varepsilon > 0$인 근방은 집합의 다른 점을 포함하지 않음.
  → 즉, interior point가 없음.

• Perfect: X
  → limit point가 존재하지 않으므로, perfect 아님.

• Bounded: O
  → 유한 집합은 항상 어떤 유한한 반지름의 ball 안에 포함될 수 있음.

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(d) 집합: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$

• Closed: O
  → Limit Point가 없으므로(모든 점이 isolated) vacuously closed

• Open: X
  → 정수 $n$에 대해 아무리 작은 neighborhood $N_\varepsilon(n)$도 실수 $n + \delta \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ 포함함.
  (Interior Point의 정의: $E$에 대해 정의된 $p$에 대하여 $N \subset E$ 인 neighborhood $N$ 이 존재하는 $p$)
  → Interior point 없음

• Perfect: X
  → 집합 내 어떤 점도 limit point가 아님. (Every point is isolated)

• Bounded: X
  → $\mathbb{Z}$는 음의 무한대로도, 양의 무한대로도 발산 → 유계 아님.

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(e) 집합: $E = \{1/n \mid n \in \mathbb{N} \}$

• Closed: X
  → 0은 limit point이지만 집합에 포함되지 x

• Open: X
  → 어떤 $1/n$의 neighborhood도 다른 원소들을 포함하지 않음.

• Perfect: X
  → 애초에 not closed여서 안 됨.

• Bounded: O
  → $0 < 1/n \le 1$ → 반지름 1인 ball 안에 전부 포함됨.

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(f) 집합: 전체 공간 $\mathbb{R}^2$

• Closed: O
  → 전체 공간은 limit point 포함 조건을 자동으로 만족.

• Open: O
  → 모든 점에 대해 어떤 반지름의 neighborhood도 전체 공간 안에 있음.

• Perfect: O
  → 닫혀 있고, 모든 점이 limit point. 즉, interior에도 점이 있고, 극한 접근 가능.

• Bounded: X
  → 어떤 반지름의 ball도 전체 공간을 포함할 수 없음 → 유계 아님.

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(g) 집합: 실수 구간 $(a, b) \subset \mathbb{R}$

• Closed: X
  → 경계점 $a$, $b$는 limit point이지만 포함되어 있지 않음.

• Open:

  • O (in $\mathbb{R}^1$)
    → 모든 점 $x \in (a, b)$에 대해 $N_\varepsilon(x) \subset (a, b)$
  • X (in $\mathbb{R}^2$)
    → $x = 0$ 위에 있는 1차원 집합일 뿐이므로 2차원 열린 집합이 아님.

• Perfect: X
  → 닫혀 있지 않음 → perfect일 수 없음

• Bounded: O
  → 유한 길이의 구간은 항상 bounded

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✅ 2.22 De Morgan’s Law for Complements (드 모르간 법칙)

Theorem
Collection $\{E_\alpha\}$ 에 대해 다음이 성립한다:

설명 및 증명

• 좌변을 $A = \left( \bigcup_\alpha E_\alpha \right)^c$,
  우변을 $B = \bigcap_\alpha E_\alpha^c$ 라 하자.
• 이제 $A \subset B$, $B \subset A$ 임을 모두 보이면 $A = B$임을 알 수 있다.

(1) $A \subset B$
$x \in A$ 라면, $x \notin \bigcup_\alpha E_\alpha$
→ 모든 $\alpha$에 대해 $x \notin E_\alpha$
→ 모든 $\alpha$에 대해 $x \in E_\alpha^c$
→ $x \in \bigcap_\alpha E_\alpha^c = B$

(2) $B \subset A$
$x \in B$ 라면, 모든 $\alpha$에 대해 $x \in E_\alpha^c$
→ 모든 $\alpha$에 대해 $x \notin E_\alpha$
→ $x \notin \bigcup_\alpha E_\alpha$
→ $x \in \left( \bigcup_\alpha E_\alpha \right)^c = A$

결론

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✅ 2.23 열린 집합과 닫힌 집합의 여집합 관계

Theorem

집합 $E$는 open $\Leftrightarrow$ $E^c$는 closed

📝 Proof

(⇒ 방향) $E$가 open이면, $E^c$는 closed

• $x$가 $E^c$의 limit point라고 하자.
• 그러면 모든 $x$의 neighborhood는 $E^c$의 점을 하나 이상 포함.
• 이는 곧 $x$가 $E$의 interior point가 아님을 의미.
• 그런데 $E$는 open이므로 모든 점은 interior point이어야 함 → $x \notin E$
• 즉 $x \in E^c$ → limit point가 포함됨 → $E^c$는 closed

(⇐ 방향) $E^c$가 closed이면, $E$는 open

• $x \in E$ 라고 하자 → $x \notin E^c$
• $x$는 $E^c$의 limit point가 아니므로, 어떤 neighborhood $N$이 존재해서 $N \cap E^c = \emptyset$
• 따라서 $N \subset E$ → $x$는 $E$의 interior point
• 모든 $x \in E$에 대해 interior point이므로 $E$는 open

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📌 Corollary

$F$가 closed ⇔ $F^c$가 open

✅ 2.24 Theorem: Open/Closed 집합의 연산

다음이 성립한다:

1. (a) 임의의 open set들의 collection $\{G_\alpha\}$에 대해,
   $\bigcup_\alpha G_\alpha$
   는 open set이다.

2. (b) 임의의 closed set들의 collection $\{F_\alpha\}$에 대해,
   $\bigcap_\alpha F_\alpha$
   는 closed set이다.

3. (c) 유한 개의 open set $G_1, \dots, G_n$에 대해,
   $\bigcap_{i=1}^n G_i$
   는 open set이다.

4. (d) 유한 개의 closed set $F_1, \dots, F_n$에 대해,
   $\bigcup_{i=1}^n F_i$
   는 closed set이다.

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📝 Proof Sketch

• (a) $x \in \bigcup G_\alpha$ 이면 어떤 $\alpha$에 대해 $x \in G_\alpha$이고, $x$는 그 $G_\alpha$의 interior point → $x$는 전체 합집합의 interior point.
• (b) 드 모르간 법칙:
  $\left( \bigcap_\alpha F_\alpha \right)^c = \bigcup_\alpha F_\alpha^c$
  우변은 open이므로, $\bigcap_\alpha F_\alpha$ 는 closed.
• (c) $x \in \bigcap G_i$ 에 대해 각 $G_i$는 open이므로, 반지름 $r_i$의 neighborhood $N_i \subset G_i$ 존재.
  $r = \min(r_1, \dots, r_n)$
  으로 잡은 neighborhood $N$은 모든 $G_i$에 포함되므로 $x$는 interior point.
• (d) (c) 의 여집합을 취해 적용.

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✅ 2.25 Examples: 유한성과 무한성의 차이

• (c), (d) 조건은 유한한 경우에만 성립하며, 무한한 경우엔 깨진다.

❗ 반례: 무한 교집합

• $G_n = (-1/n, 1/n)$ 은 각각 open이다.
• $\bigcap_{n=1}^\infty G_n = \{0\}$
• 하지만 $\{0\}$ 은 open이 아니다.

👉 따라서 무한히 많은 open set들의 교집합은 open이 아닐 수 있음.

❗ 반례: 무한 합집합

• 마찬가지로, 무한히 많은 closed set들의 합집합은 closed가 아닐 수 있음.
• 예: $F_n = \left[ -1 + \frac{1}{n},\ 1 - \frac{1}{n} \right] \quad \text{for } n = 2, 3, 4, \dots$
  은 각각 closed 이다.
• 하지만
  $F = \bigcup_{n=2}^{\infty} F_n = (-1, 1)$
  은 open이다.
  👉 따라서 무한히 많은 closed set들의 합집합은 closed가 아닐 수 있음.

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