📖 『Rudin: Principles of Mathematical Analysis』 Ch.2 (2.18~2.20)

✅ 2.18 Definition (Metric Space의 위상 개념)

(a) Neighborhood (근방)

• 어떤 점 $p$의 반지름 $r > 0$인 neighborhood는:
  $N_r(p) = \{ q \in X \mid d(p, q) < r \}$
• $\mathbb{R}^1$에서는 열린 구간, $\mathbb{R}^2$에서는 원 내부에 해당.

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(b) Limit point (극한점)

• $p$의 모든 neighborhood가 $E$의 점 $q \ne p$ 를 포함하면 $p$는 $E$의 limit point.
• 예: $E = \{1/n\}$ → 0은 $E$의 극한점.

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(c) Isolated point (고립점)

• $E$ 안에 있으면서 limit point가 아닌 점.
• 예: $E = \{1, 2, 3\}$ → 모든 점은 고립점.

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(d) Closed set (닫힌 집합)

• 모든 limit point를 포함하는 집합.
• 예: $[0,1]$은 closed, $(0,1)$은 not closed.

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(e) Interior point (내점)

• $p \in E$이고, 어떤 neighborhood $N_r(p) \subset E$이면 $p$는 interior point.

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(f) Open set (열린 집합)

• 모든 point가 interior point일 때 $E$는 열린 집합.
• 예: $(0,1)$은 open, $[0,1]$은 open 아님.
• 주의! : closed와 open은 서로 반대되는 개념이 아님.

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(g) Complement (여집합)

• $E^c = \{ p \in X \mid p \notin E \}$

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(h) Perfect set (완전 집합)

• $E$가 closed이고, 모든 점이 limit point이면 perfect.

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(i) Bounded set (유계 집합)

• 어떤 실수 $M$과 점 $q$가 존재하여:
  $d(p, q) < M \quad \text{for all } p \in E$
• 즉, $E$ 전체가 어떤 볼 안에 들어가는 경우.

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(j) Dense set (조밀 집합)

• $X$의 모든 점이 $E$의 limit point이거나 $E$의 point이면, $E$는 $X$에서 조밀.

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✅ 2.19 Theorem: Every neighborhood is an open set

어떤 점 $p$에 대한 반지름 $r$의 neighborhood $N_r(p)$는 항상 open set이다.

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📝 Proof (증명)

• p의 neighborhood $E = N_r(p)$라고 하자.
• $q \in E$인 임의의 점을 잡자.
• $d(p, q) < r$이므로, 어떤 $h > 0$가 존재하여:
  $d(p, q) = r - h$
• 이제 $q$ 중심의 neighborhood $N_h(q)$를 생각하자.
• 이 안의 임의의 점 $s$는 $d(q, s) < h$를 만족하므로,

삼각부등식에 의해:

즉, $s \in N_r(p)$이므로:

• 따라서 $q$는 $N_r(p)$의 interior point이다.
• 모든 $q \in N_r(p)$가 interior point이므로, $N_r(p)$는 open set이다.

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✅ 2.20 Theorem: Limit point 주변에는 무한히 많은 점이 있다

어떤 점 $p$가 집합 $E$의 limit point라면,
$p$의 모든 neighborhood는 $E$의 무한히 많은 점들을 포함한다.

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📝 Proof (by contradiction)

1. $p$가 $E$의 limit point라고 하자.

2. 그런데 어떤 neighborhood $N$이 $E$의 유한 개의 point들만 포함한다고 가정하자:

   $N \cap E = \{ q_1, \dots, q_n \} \quad (q_i \ne p)$

3. 이 점들 중 $p$와의 최소 거리를 $r$이라 하자:

   $r = \min\{ d(p, q_1), \dots, d(p, q_n) \} > 0$

4. 이제 반지름 $r$인 neighborhood $N_r(p)$를 고려하자.
   그런데 이 안에는 $q_1, \dots, q_n$ 중 아무 점도 포함되지 않음.
   ($q_1, \dots, q_n$ 는 $p$로부터 거리가 $r$ 이상이기 때문)

5. 따라서 $N_r(p) \cap E = \emptyset$

→ 이는 limit point의 정의에 모순. ($E$의 limit point $p$의 모든 neighborhood는 $p$가 아닌 $E$의 point $q$를 포함한다)
→ 즉, 모든 neighborhood에는 무한히 많은 $E$의 점이 있어야 한다.

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📌 Corollary

유한한 집합은 limit point를 가질 수 없다.

• 왜냐하면 아무리 neighborhood를 키워도 그 안에 유한한 점밖에 없기 때문.