Ch2. Manipulator kinematics

1. Introduction

Kinematics of manipulators

• 동작의 원인인 Force에 대해서는 생각하지 않고 motion에 대해서만 다루는 역학을 의미하고 정지해 있는 상황에서 manipulater의 position과 orientation을 표현하는 것을 목표로 한다.

2. Link/Link-connection description

1. manipulator는 joints에 의해 연결된 bodies들의 집합을 의미하고 이 body들을 link라고 부른다.

• joint
  이웃하는 link 사이에 연결된 부분을 joint라고 부르며, revolute joint와 sliding joint로 나뉜다.
  

• link
  모양이 변하지 않는 rigid 형태이다.

2. 일반적으로 manipulator는 3차원 상의 end-effector의 포지션을 위해 최소 6개의 joints를 필요로한다.(공간상에 객체를 표현하기 위해 6개의 parameter가 필요하기 때문 $x, y, z, \alpha, \beta, \gamma$)

3. Link와 Joint의 표현

• link는 움직이지 않는 link를 0번으로 넘버링하고 순차적으로 번호를 증가시키며 부여한다.
• joint는 회전축(axis)으로 표현하고 link i-1과 link i와 연결된 joint를 axis i로 표현한다.

4. Link Description
   link는 link length와 link twist 2가지로 표현할 수 있다.

• link length($a_{i-1}$) : axis i-1축과 axis i 축 사이의 mutually perpendicular한 선의 거리를 의미
• link twist($\alpha_{i-1}$) : axis i-1축과 axis i 축 사이의 right-hand 각도를 의미

5. Link Connection Description
   link connection은 link offset와 joint angle 2가지로 표현할 수 있다.

• link offset($d_{i}$) : axis i-1축과 axis i 축 사이의 mutually perpendicular한 선의 거리를 의미
• joint angle($\theta_{i}$) : axis i-1축과 axis i 축 사이의 right-hand 각도를 의미

3. Convention for affixing frames to links

Intermediate links in the chain

앞써 정의한 Link, Link Connection과 frame 간의 관계를 알아보자.

중간 link, link Connection 일 때,

1. axis $i$의 방향으로 $\hat{z}_i$를 설정
2. $a_i$의 방향으로 $\hat{x}_i$를 설정
3. right-hand 규칙을 따라 남은 $\hat{y}_i$를 설정

처음 혹은 마지막 link, link Connection 일 때,

1. $\theta_1$를 제외한 나머지($\alpha_0, a_0, d_1$)가 모두 0이 되게 끔 orientation을 설정
2. $\theta_N, a_{N-1}$를 제외한 나머지($\alpha_{N-1}, d_N$)가 모두 0이 되게 끔 orientation을 설정

즉, 최대한 0을 많이 가지게 하도록 처음과 마지막 frame을 설정

Summary of the link parameters

• $a_{i-1}$ : $\hat{X}_{i-1}$ 축을 따라서 측정된 $\hat{Z}_{i-1}$에서 $\hat{Z}_{i}$까지의 거리
• $\alpha_{i-1}$ : $\hat{Z}_{i-1}$에서 $\hat{Z}_{i-1}$사이의의 각도
• $d_i$ : $\hat{Z}_{i}$ 축을 따라서 측정된 $\hat{X}_{i-1}$에서 $\hat{X}_{i}$까지의 거리
• $\theta_i$ : $\hat{X}_{i}$에서 $\hat{X}_{i-1}$사이의의 각도

4. Manipulator kinematics

• D-H parameters를 이용해 Transformation matrix를 정의해보자.