Ch3. Inverse manipulator kinematics

1. Forward Kinematics와 Inverse Kinematics

• Forward Kinematics : mainipulator의 joint angles이 주어졌을 때, 모든 frame의 position과 orientation을 구하는 것을 의미

• Inverse Kinematics : End Effector의 position과 orientation이 주여졌을 대, joint angles을 구하는 것을 의미

2. Solvability

2-1. Existence of solutions

1. Dextrous Workspace : End Effector 모든 orientation으로 도달할 수 있는 공간을 의미
2. Reachable Workspace : End Effector 적어도 하나의 orientation으로 도달할 수 있는 공간을 의미

아래와 같은 manipulator가 존재한다고 할 때 $L_1, L_2$ 의 길이에 따라 Workspace가 달라질 수 있다.

• $L_1 = L_2$ : 고정된 Link의 중심만 Dextrous Workspace이고 $L_1 + L_2$를 반지름으로 하는 원만큼이 Reachable Workspace이다.
• $L_1 \ne L_2$ : Dextrous Workspace는 없으며, $L_1$, $L_2$의 길이에 따라 Reachable Workspace가 변경된다.

2-2. Multiple solutions

• Fig 4.2와 같이 특정 $x, y, \phi$를 가지는 joint angles의 조합은 다수 존재할 수 있다.
  <어떤 조합을 선택해야하는 지에 대한 문제>
• Fig 4.3과 같이 특정 $x, y, \phi$로 가기 위한 경로 중 obstacle에 의해 불가능한 경로가 존재할 수 있다.
  <어떤 경로를 따라가야하는 지에 대한 문제>

2-3. Method of solution

• Closed-form solutions과 Numerical solutions이 존재할 수 있다.

• Closed-form은 Numerical 보다 연산량이 적지만, 해가 존재하지 않을 수도 있으며 Algebraic 방식과 Geometric 방식으로 나뉠 수 있다.

3. Algebraic vs Geometric

3-1. Algebraic Method

• 아래와 같은 시스템으로 구성된 manipulator의 3번 Link의 orientation과 position이 주어졌을 때, 각 joint의 angle을 Algebraic Method를 사용하여 구하는 것을 목표로 한다.
  

• Forward Kinemetics = Inverse Kinematics를 풀자

• $c_2$에서 바로 $cos^{-1}$를 이용해 $\theta_2$를 구할 수 있으나, 여러 해가 존재할 수 있으므로, $Atan2(s_2, c_2)$를 이용해 $\theta_2$를 구함.

• $\theta_1$을 구하기 위해 ($r, \gamma, k_1, k_2$) 를 아래와 같이 설정하고 식을 변환
  

[step 1]

[step 2]

[step 3]

• $\theta_1, \theta_2$를 이용하여 나머지 $\theta_3$를 구한다.
  $c_{\phi}=c_{123}, s_{\phi}=s_{123}$

3-2. Geometric solution

• 삼각형의 특성을 기하학적인 특성(제 2 $\cos$법칙)을 이용한 Inverse Kinemetics

  

1.제 2 $\cos$ 법칙을 이용해 $\theta_2$을 구한다.

2.제 2 $\cos$ 법칙을 이용해 $\theta_1$을 구한다.

3. $\theta_1, \theta_2$를 이용하여 나머지 $\theta_3$를 구한다.