Ch4. Jacobians: velocities and static forces

1. Intorduction

• 기존의 Static posiition problems 이었던 것을 벗어나 rigid body의 linear velocity와 angular velocity까지 고려해본다.

2. Notation for time-varying position and orientation

2-1. Differentiation of position vectors

• {B} frame에서 position Q를 미분하는 식은 아래와 같다.

• {B} frame에서 미분한 position 를 {A} frame에서 표현하면 아래와 같다.

  ${}^A({}^BV_Q)=\frac{{}^Ad}{dt}{}^BQ$

• 고정된 frame $U$가 있을 때, 식을 간편하게 표현하기 위에 아래와 같이 표현할 수 있다.
  아래의 식은 frame $C$의 origin의 velocity를 frame $U$에서 미분, 표현하는 식

  $v_C = {}^U({}^UV_{CORG})={}^UV_{CORG}$

2-2. Angular velocity vector

• 각속도 벡터는 어떤 좌표계를 기준으로 다른 좌표계가 회전할 때, 그 회전축과 속도를 나타내기 위한 벡터로 3x1 matrix로 구성되어 있다.

• position vector와 동일하게 아래와 같이 표현할 수 있다.
  frame $C$에서 표현한 frame $A$에서 바라본 frame $B$의 angular vector

  ${}^C({}^A\Omega_C)$

  frame $U$에서 표현한 frame $U$에서 바라본 frame $C$의 angular vector

  $w_C={}^U\Omega_C.$

3. Linear and rotation velocity of rigid bodies

3-1. Linear velocity

• frame $B$의 Rotation matrix가 상수일 때 즉 회전하지 않을 때 frame $A$에서 미분, 표현한 점 $Q$의 선속도를 구하는 경우

3-2 Rotation velocity

• 식을 간단하게 표현하기 위해 frame $A$와 $B$의 origin이 서로 같다고 가정하고 식을 전개해 보자.

• $Q$의 궤적이 그래는 원의 반지름은 ${}^AQ\cdot\sin \theta$로 구할 수 있다.
• $\Delta t$시간동안 움직인 각도는 ${}^A\Omega_B \cdot \Delta t$로 나타낼 수 있고 $Q$가 이동한 거리 $\Delta Q$는 ${}^AQ\cdot\sin \theta \cdot {}^A\Omega_B \cdot \Delta t$ 로 표현할 수 있다.
• 마지막으로 점 $Q$를 frame $A$ 에서 미분, 표현한 선속도는 ${}^AV_Q=\frac{\Delta Q}{\Delta t}={}^AQ\cdot\sin \theta \cdot {}^A\Omega_B$로 나타낼 수 있고, 이는 외적을 이용해 다시 나타낼 수 있다. (${}^AV_Q={}^A\Omega_B \times {}^AQ$)

• 최종적으로 Linear veolcity와 Rotation velocity가 둘다 존재할 때는 아래와 같은 식으로 일반화 할 수 있다.

3-3 By Differential

• 3-1, 3-2와 같이 증명할 필요없이, 미분을 통해 바로 구할 수 있다.

[step1]

[step2]

[step3]

4. Motion of links of a robot

• 로봇에서 linear velocity와 angular velocity의 표현
  • $v_i$ : link 0에서 미분한 link i에 대한 linear velocity
  • $w_i$ : link 0에서 미분한 link i에 대한 angular velocity

5. Velocity "propagation" froma link to link

• link i+1의 velocity는 link i에 영향을 받기 때문에 ${}^{i+1}w_{i+1}$을 표현할 때 이를 고려해야한다.

5-1. Linear velocity of link i+1

• ${}^iv_{i}$은 link i에 의해 발생하는 link i+1의 linear velocity이고, ${}^{i}_{i}w \times {}^{i}P_{i+1}$는 link i+1의 join의 rotational veloicty에 의해 발생하는 link i+1의 linear velocity로서 이 둘을 합한 값이 ${}^{i}v_{i+1}$이다.

• 위 식에 ${}^{i+1}_iR$를 곱해 식을 정리하면 아래와 같다.
  ${}^{i+1}v_{i+1}={}^{i+1}_iR({}^{i}v_i+{}^iw+i \times ^{i}P_{i+1})$

5-2. Angular velocity of link i+1

• ${}^iw_{i}$은 link i에 의해 발생하는 link i+1의 angular velocity이고, ${}^{i}_{i+1}R\dot{\theta}_{i+1}{}^{i+1}\hat{Z}_{i+1}$는 link i+1의 join의 rotational veloicty에 의해 발생하는 link i+1의 angular velocity로서 이 둘을 합한 값이 ${}^{i}w_{i+1}$이다.

• 위 식에 ${}^{i+1}_iR$를 곱해 식을 정리하면 아래와 같다.
  ${}^{i+1}w_{i+1}={}^{i+1}_iR^iw_i+ \dot{\theta}_{i+1}{}^{i+1}\hat{Z}_{i+1}$