기저 (basis)
- 벡터 공간을 생성하는 선형 독립인 벡터들.
- 기저는 유일하지 않다.
(1,0), (0,1)도 기저가 될 수 있으며 (10,0). (0,20)도 기저가 될 수 있다.
기저가 되기 위한 조건
- {s1,s2,s3,,,sn}이 공간 S를 생성한다.
- s1,s2,s3,,,sn은 선형 독립(linearly independent)이다.
=> 랭크와 차원의 개념이해를 위해 필요한 개념
차원 (dimension)
해당 공간을 구성하는 기저 벡터의 개수
행공간,열공간,영공간
행공간과 열공간
"행벡터로 soan 할 수 있는 공간을 행공간, 열벡터로 span할 수 있는 공간을 열공간이라고 부른다"
영공간
Ax=0을 만족하는 해 (solution)공간을 영 공간(null space)라고 한다.
x = 선형시스템의 해, A = 선형 변환
"행공간과 열공간의 차원은 같다."
다시말해 A의 영공간이란 행렬 A가 주어질 때 Ax=0을 만족하는 모든 벡터 x의 집합.
행공간, 열공간, 영공간의 성질
- 기본 행 연산은 행렬의 영공간을 변화시키지 않는다.
- 기본 행 연산은 행렬의 해 공간을 변화시키지 않는다.
- 행렬 A의 행 공간과 열 공간의 차원은 동일하다.
랭크 (Rank)와 널리티(nulity)
랭크 = 열 벡터에 의해 span된 벡터 공간의 차원(행 공간과 열 공간의 공통 차원)
표기: rank(A)
랭크 = 연립방정식의 풀이에 필요한 개념
랭크계산 = 연립 방정식 계산
널리티 = 행렬 A의 영 공간의 차원
표기: nulity(A)
랭크와 널리티의 성질
- 행렬 A가 임의의 행렬이면 rank(A) = rank(At)이다.
- 행렬 A가 n개의 열을 가진 행렬일 때, rank(A) + nulity(A) = n을 만족한다.
veloger