Taylor Series

구국원·2020년 7월 16일

1 Taylor Series

$x=a$ 에서 무한번 미분 가능한 함수 $f(x)$ 를 근사 다항식으로 표현한 것을 테일러 급수(taylor series, taylor expansion)라고 합니다.

\begin{aligned} f(x) &= \cfrac{f(a)(x-1)^0}{0!} + \cfrac{f^{(1)}(a)(x-a)^1}{1!} + \cfrac{f^{(2)}(a)(x-a)^{2}}{2!} + ... \\ &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac {f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)}^{n} \end{aligned}

이를 다르게 표현하면, $f(x)$ 를 $x=a$ 에서 동일한 미분계수(derivative)를 가지는 다항함수로 근사 시키는 것이라고 할 수 있겠습니다.

테일러 급수를 통해 자연상수 $e$ 를 다항함수로 표현 할 수 있습니다. 자연상수 $e$ 의 정의는 다음과 같습니다.

e=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\Big(1+\cfrac{1}{n}\Big)}^{n} =\lim\limits_{x\rightarrow0}{\Big(1+n\Big)^{1/n}}

그러나 n이 무한대로 커지면 연산에 필요한 cost가 가중되게 됩니다. 다른 형태의 식으로 2.718281828... 을 근사할 수 없을까요? 테일러 급수를 이용해 봅시다!

\begin{aligned} f(x) &= e^{x} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{e^a}{n!}(x-a)^n \end{aligned}

위 식은 $e^x$ 를 무한번 미분해도 $e^x$ 임을 고려하면 쉽게 도출 할 수 있습니다.

위 식에서 $a=0$ 이라면,

\begin{aligned} f(x) &= e^{x} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{1}{n!}x^n \\ &= 1+\cfrac{1}{1!}x+\cfrac{1}{2!}x^2+\cfrac{1}{3!}x^3+... \end{aligned}

$x=1$ 을 대입하면,

\begin{aligned} f(1) &= e \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{1}{n!} \\ &= 1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+... \end{aligned}

$x=-1$ 을 대입하면,

\begin{aligned} f(-1) &= e^{-1} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{(-1)^{n}}{n!} \\ &= 1-\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}-\cfrac{1}{3!}+... \end{aligned}

매클로린 급수(maclaurin series)란 talyor seires에서 $a=0$ 인 series를 뜻합니다. 위에서 $e^x$ 를 테일러 시리즈로 근사할 때 $a=0$ 으로 하였는데, 이는 매클로린 급수를 의미한다고 하겠습니다.

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