Multivariate normal distribution(다변수 정규 분포)

일반적인 정규 분포...

일반적으로 정규 분포 하면 많이들 변수가 하나인 정규 분포를 떠올리실 겁니다.

여기서의 변수는 x값 하나로 하나의 변수에 대해서만 분포를 나타내 줍니다. 평균과 분산만 알 수 있다면 분포에 관한 모든 정보를 알 수 있는 가장 중요한 분포도 이기도 합니다.

$X\sim N(\mu,\:\theta^2),\:\mu\in\R,\:\sigma^2<0$

다변수 정규 분포...

다변수 정규 분포는 일차원의 정규분포를 다차원으로 일반화 시킨것 입니다. 이 분포는 여러가지 변수가 서로 연관성이 있을때의 분포를 나타냅니다. 일차원 정규 분포와 마찬가지로 다변수 정규 분포 또한 여러개의 파라미터들로 정의될 수 있고 covariance$(\Sigma)$를 통해 각각의 독립적인 정보가 얼마나 연관성이 있고 서로에게 영향을 끼치는지 파악합니다. 변수 $X$와 $Y$의 간의 covariance는 $C(X, Y)$로 표현합니다.

d 차원에서의 multi variate normal distribution

• x는 d 크기의 랜덤 벡터
• $\mu$는 평균 벡터
• $\Sigma$는 $(d\times d)$크기의 covariance matrix
• $|\Sigma|$는 행렬식

다변수 정규 분포 예시

두개의 예시를 한번 살펴보겠습니다.

1. $N\bigg(\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\bigg)$

여기서의는 2개의 변수를 갖는 정규 분포이며 $x_1$와 $x_2$의 coveriance가 0으로 초기화 되었기 때문에 2개의 변수는 독립관계인 것을 확인 할 수 있습니다.

2. $N\bigg(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1&0.8\\0.8&1\end{bmatrix}\bigg)$

여기서의 covariance는 0과는 다르게 초기화 되었음으로 서로가 연관성이 있다고 볼 수 있습니다.