Geared Motord의 회전력

모터에 달린 기어:부하 쪽 기어 = $N_1:N_2$

1) $T = T_M+T_{GM} = J_M\ddot{\theta_M}+B_M\dot{\theta_M}+J_{GM}\ddot{\theta_{M}}+B_{GM}\dot{\theta_M}$,($T_{GM}$: 모터에서 바라본 기어측 수식)

2) $T_G = J_G\ddot{\theta_G}+B_G\dot{\theta_G}$

3) $N_1\dot{\theta_M} = N_2\dot{\theta_G} \rightarrow \dot{\theta_G}=\frac{N1}{N2}\dot{\theta_M}$

만약 기어에서 손실이 발생하지 않는다면 $P = T_G\dot{\theta_G} = T_{GM}\dot{\theta_M}$

하지만 손실은 발생할 수 밖에 없음. 이때 기어의 효율을 $\alpha$라고 하면 $T_G\dot{\theta_G} = \alpha T_{GM}\dot{\theta_M}$.

이 식에 3)번 식 대입 후 정리

$T_G\frac{N_1}{N_2} = \alpha T_{GM}\dot{\theta_M}$

$T_G = \alpha \frac{N_2}{N_1} T_{GM}\dot{\theta_M}$

2)번식 대입 후 정리

$J_G\ddot{\theta_G}+B_G\dot{\theta_G}=\alpha \frac{N_2}{N_1} T_{GM}\dot{\theta_M}$

3)번식 대입

$J_G\frac{N1}{N2}\ddot{\theta_M}+B_G\frac{N1}{N2}\dot{\theta_M}=\alpha \frac{N_2}{N_1} T_{GM}\dot{\theta_M}$

$T_{GM}$에 대해 정리하면 아래와 같다.

$T_{GM} = \frac{1}{\alpha} (\frac{N_1}{N_2})^2 J_G\ddot{\theta_M}+\frac{1}{\alpha} (\frac{N_1}{N_2})^2 B_G\dot{\theta_M}$

($J_{eq}=J_M+\frac{1}{\alpha} (\frac{N_1}{N_2})^2 J_G$, $B_{eq}=B_M+\frac{1}{\alpha} (\frac{N_1}{N_2})^2 B_G$)

Intertia

$\rho = \frac{mass}{volume} = \frac{m}{V}$

$J=\int r^2 dm$

Ex) 반지름이 R인 원판의 intertia

$\rho = \frac{m}{\pi r^2} \rightarrow \rho \pi r^2 = m \rightarrow \rho 2\pi r dr = dm$

$J = \int r^2 dm = \rho \int 2\pi r^3dr=\rho\frac{1}{2}\pi[r^4]^R_0 = \rho\frac{1}{2}\pi R^4, (\rho = \frac{m}{\pi R^2})$

1) Stretch Rule

회전축과 동일한 방향으로 강체를 늘려도 intertia는 변하지 않는다.

반지름이 R인 원판과 반지름이 R, 높이가 H인 원기둥의 interita는 $\frac{1}{2}mR^2$으로 동일하다.

2) 평행축 정리

회전축과 물체의 질량중심이 평행하게 d만큼 떨어져 있다면 intertia는 다음과 같이 게산한다.

3) 수직축 정리

위 규칙들을 이용하여 부하의 intertia $J_L$을 계산하고 회전력 수식에 포함시키면 다음과 같다.

$J_{eq}+\frac{1}{\alpha} (\frac{N_1}{N_2})^2 J_L)\ddot{\theta_M}$$J_{eq}$와 $B_{eq}$를 다시 정의할 수 있다.

$J_{eq} = J_M+ \frac{1}{\alpha} (\frac{N_1}{N_2})^2 J_G+\frac{1}{\alpha} (\frac{N_1}{N_2})^2 J_L$, $B_{eq} = B_M+ \frac{1}{\alpha} (\frac{N_1}{N_2})^2 B_G+\frac{1}{\alpha} (\frac{N_1}{N_2})^2 B_L$