벡터 공간의 정의
벡터 공간은 벡터(길이와 방향이 있는 화살표)들이 정의된 집합과 그 벡터들 위에서 정의된 연산들이 특정 조건을 만족하는 수학적 구조이다. 벡터 공간의 핵심 요소는 다음과 같은 두 가지 연산이다.
1. 벡터의 덧셈: 두 벡터를 더하여 새로운 벡터를 만드는 연산이다.
2. 벡터의 스칼라 곱: 베터에 스칼라(실수)를 곱하여 새로운 벡터를 만드는 연산이다.
이 두 연산은 벡터 공간에서 몇 가지 중요한 공리를 만족해야 한다.
벡터 공간의 공리
벡터 공간은 다음과 같은 공리를 만족해야 한다.
1. 덧셈의 결합법칙: u + (v + w) = (u + v) + w
벡터를 더할 때 결합 방식에 관계없이 결과가 같아야 한다.
2. 덧셈의 교환법칙: u + v = v + u
두 벡터를 더할 때 순서를 바꿔도 결과가 같아야 한다.
3. 덧셈의 항등원: u + 0 = u
벡터를 더할 때 0 벡터(덧셈의 항등원)를 더하면 벡터가 변하지 않아야 한다.
4. 덧셈의 역원: u + (-u) = 0
각 벡터에는 더해서 0 벡터를 만드는 역원이 있어야 한다.
5. 스칼라 곱의 분배법칙: a(u + v) = au + av
스칼라(실수)와 벡터의 곱에서 벡터의 덧셈에 대해 분배 법칙이 성립해야 한다.
6. 스칼라의 결합법칙: a(bu) = (ab)u
두 스칼라를 곱한 결과와 하나의 스칼라를 벡터에 곱하는 결과가 같아야 한다.
7. 스칼라 곱의 항등원: 1u = u
스칼라 1을 벡터에 곱하면 벡터가 변하지 않아야 한다.
2차원 평면:
- 벡터 v = (v1, v2) 형태의 벡터.
- 벡터의 덧셈: u + v = (u1 + v1, u2 + v2).
- 스칼라 곱: av = (av1, av2).
3차원 공간:
- 벡터 v = (v1, v2, v3) 형태의 벡터.
- 벡터의 덧셈: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3).
- 스칼라 곱: av = (av1, av2, av3).
함수 공간:
- 벡터: 함수 f(x)와 g(x).
- 벡터의 덧셈: (f+g)(x) = f(x) + g(x).
- 스칼라 곱: (af)(x) = a⋅f(x).
요약
- 벡터 공간: 벡터와 스칼라 곱이라는 두 연산이 특정 공리를 만족하는 수학적 구조이다.
- 공리: 벡터의 덧셈과 스칼라 곱은 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙 등의 공리를 만족해야 합니다.
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