Lecture 3: Birthday Problem, Properties of Probability | Statistics 110

Birthday Problem

Birthday problem $k$명의 사람이 있을 때, 적어도 2명의 생일이 같을 확률을 구하는 문제이다.

여기서는 문제를 단순하게 만들기 위해 다음과 같이 가정한다.

• 2월 29일은 제외한다.
• 1년은 365일이다.
• 365일의 생일 확률은 모두 동일하다.
• 각 사람의 생일은 서로 독립이다.

Pigeonhole principle

먼저 $k > 365$인 경우를 생각해보자.

365개의 생일에 366명 이상의 사람이 있다면, 반드시 같은 생일을 가진 사람이 존재한다.

따라서 $k > 365$ 이면 같은 생일이 있을 확률은$P(\text{match}) = 1$이다.

상자보다 많은 물건을 상자에 넣으면, 적어도 하나의 상자에는 2개 이상의 물건이 들어가야 한다.

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$k \leq 365$인 경우

이제 실제로 확률을 계산해보자.

직접 같은 생일이 나올 확률을 계산하는 것보다 여사건을 계산하는 것이 훨씬 쉽다.

즉, $P(\text{match}) = 1-P(\text{no match})$를 이용한다.

먼저 $k$명의 생일이 모두 다른 경우를 생각하자.

첫 번째 사람은 365일 중 아무 날이나 가능하다.

두 번째 사람은 첫 번째 사람과 달라야 하므로 364일이 가능하다.

세 번째 사람은 앞의 두 사람과 달라야 하므로 363일이 가능하다.

이것을 계속하면, $P(\text{no match}) = \frac{365}{365}\frac{364}{365}\frac{363}{365}\cdots\frac{365-k+1}{365}$이다.

따라서 $P(\text{match}) =1-\frac{365}{365}\frac{364}{365}\frac{363}{365}\cdots\frac{365-k+1}{365}$이다.

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왜 23명인가?

이제 $k=23$을 대입해보자.

즉, 23명만 있어도 2명의 생일이 같을 확률이 약 50.7%가 된다.

처음에는 365일의 절반 정도인 150명 이상의 사람이 있어야 할 것처럼 보인다.

하지만 여기서 중요한 것은 사람의 수 $k$ 자체가 아니다.

사람들 사이에서 만들 수 있는 쌍의 개수를 생각해야 한다.

$k$명 중 2명을 고르는 경우의 수는

이다.

23명의 경우에는

개의 쌍이 만들어진다.

즉, 23명은 작아 보이지만 그 안에는 253개의 생일 비교 기회가 존재한다.

365일에 대해 253개의 쌍을 비교하기 때문에, 생일이 같은 쌍이 하나 이상 나오는 것이 생각보다 전혀 놀랍지 않은 것이다.

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확률의 공리

이제 다시 확률의 단순하지 않은 정의로 돌아가보자.

확률 공간은

로 표현할 수 있다.

그리고 $P$는 다음과 같은 기본적인 성질을 만족한다.

또한 서로소인 사건 $A_1,A_2,\ldots$에 대해서

가 성립한다.

이 두 가지 규칙을 이용하면 확률의 여러 성질들을 유도할 수 있다.

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첫 번째 속성

먼저 여사건의 확률을 보자.

$A$와 $A^c$를 합치면 전체 표본공간 $S$가 된다.

또한 둘은 서로소이다.

따라서

이므로

를 얻는다.

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두 번째 속성

이번에는

라고 하자.

$A$가 발생하면 $B$도 반드시 발생하므로,

가 되어야 한다.

이를 증명하기 위해 $B$를 $A$와 나머지 부분으로 나누어보자.

그리고 두 사건은 서로소이다.

따라서

이다.

확률은 음수가 될 수 없으므로

가 된다.

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세 번째 속성: 포함배제의 원리

이번에는 서로소가 아닌 두 사건의 합집합을 생각해보자.

단순히 $P(A)+P(B)$를 더하면 교집합 부분이 두 번 계산된다.

따라서 교집합을 한 번 빼주어야 한다.

이것을 포함배제의 원리(Inclusion-Exclusion Principle)라고 한다.

Proof

$P(A\cup B) = P(A)+P(B\cap A^c) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$이라면 $P(B\cap A^c) = P(B)-P(A\cap B)$가 성립해야 한다.

식을 정리하면 $P(B) = P(B\cap A^c)+P(A\cap B)$이고, $B\cap A^c$와 $A\cap B$은 disjoint하며 합집합이 $B$이므로 위의 식은 성립한다.

Story Proof

먼저 $A$와 $B$를 더하면 교집합이 두 번 포함된다.

따라서

에서 교집합을 한 번 빼주면 실제 합집합의 확률이 된다.

결국

이다.

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세 개의 사건

이것을 세 개의 사건으로 확장해보자.

먼저 각각을 더한다.

그러면 두 번씩 포함된 교집합을 빼야 한다.

하지만 세 사건의 교집합은 세 번 더해지고 세 번 빠졌기 때문에 한 번도 포함되지 않은 상태가 된다.

따라서 다시 더해준다.

결국

이다.

귀납적인 증명

세 개의 사건 $A$, $B$, $C$에 대한 포함배제의 원리는 2개 사건의 포함배제를 이용해 유도할 수 있다.

먼저 $B\cup C$를 하나의 새로운 사건으로 생각하자.

그러면 $A$와 $B\cup C$에 대해 2개 사건의 포함배제를 적용할 수 있다.

이제 각 부분을 다시 계산하면 된다.

$B$와 $C$에 대해 2개 사건의 포함배제를 적용하면 $P(B\cup C)= P(B)+P(C)-P(B\cap C)$이다.

집합의 분배법칙을 이용하면$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$이다.

따라서 다시 2개 사건의 포함배제를 적용하면 $P(A\cap(B\cup C)) =P(A\cap B)+P(A\cap C)-P(A\cap B\cap C)$가 된다.

이를 처음 식에 대입하면

이다.

이렇게 3개 사건의 포함배제도 결국 2개 사건의 포함배제를 반복해서 적용하여 유도할 수 있다.

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일반적인 포함배제의 원리

$n$개의 사건에 대해서도 같은 방식으로 확장할 수 있다.

각 사건을 더하고, 두 사건의 교집합을 빼고, 세 사건의 교집합을 더하는 식으로 계속 반복한다.

부호가 계속 바뀌는 것이 특징이다.

결국 포함하고, 중복된 부분을 배제하고, 다시 포함하는 과정이 반복되기 때문에 포함배제의 원리라고 부른다.

출처
부스트코스
Statistics 110