Lecture 2: Story Proofs, Axioms of Probability | Statistics 110

복원 - 순서 상관 없음의 경우의 수

n개에서 k개를 순서 상관 없이, 복원하며 뽑는 경우의 수는 $\binom{n+k-1}{k}$이다. -> 중복조합

Proof

(극단적인 경우) k = 0 대입:

• 아무것도 선택하지 않았을 때의 경우는 1가지 이므로 맞다.

(일반적인 경우) k = 1 대입:

• n개의 물체에서 1개를 순서 상관 없이, 복원하여 뽑는 경우는 n가지 임으로 맞다.

(간단하지만 당연하지는 않은 값) n = 2 대입:

일반화

위 문제는 (n+k-1)개의 위치에 원과 구분선을 배열하는 것과 같다. 원의 위치를 먼저 정하면 구분선의 위치도 결정되고, 그 반대도 성립하기 때문에, 다음과 같은 등식이 성립함을 확인할 수 있다.

결국 중복 조합이다.

Story Proof

대수적으로 이해하기 보다 상황 이해를 통해 증명을 하는 것

• $n$명에서 $k$명을 뽑는 것은, 뽑지 않을 $n-k$명을 고르는 것과 같다.

• $n$명 중 대표 1명을 먼저 뽑고 나머지 $k-1$명을 뽑으면 $n\binom{n-1}{k-1}$. $k$명을 먼저 뽑은 뒤 그중 대표 1명을 뽑으면 $k\binom nk$, 따라서 둘은 같다.

• $m+n$명 중 $k$명을 한 번에 뽑으면 $\binom{m+n}{k}$. $m$명에서 $j$명, $n$명에서 $k-j$명을 뽑는 경우를 모두 더하면 $\sum_{j=0}^{k}\binom mj\binom n{k-j}$, 따라서 둘은 같다.

Non-naïve definition of probability

지금까지는 모든 결과가 동일한 확률을 가지는 경우만 다루었다.

이제는 결과마다 확률이 다르거나, 결과의 경우의 수가 유한하지 않은 경우까지 생각해보자.

이를 위해 먼저 확률 공간(probability space)이라는 개념을 알아야 한다.

확률 공간에는 2개의 성분이 있다.

• $S$: 표본공간(sample space), 가능한 모든 결과의 집합
• $P$: 사건에 확률을 부여하는 함수

사건 $A$는 $S$의 부분집합이다. 입력은 사건이 되고, 출력은 0과 1 사이의 수가 된다.

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확률의 기본 규칙

$P$가 확률 함수가 되기 위해서는 몇 가지 성질을 만족해야 한다.

1. 공집합의 확률은 0, 전체 집합의 확률은 1

공집합은 발생할 수 없는 사건이므로 확률이 0이고, $S$는 가능한 모든 결과를 포함하므로 확률이 1이다.

2. 서로소인 사건의 합

$A_1,A_2,\ldots$가 서로소라면,

합집합의 확률은 각각의 확률을 더한 것과 같다.

즉, 서로 겹치지 않는 사건들의 확률은 더할 수 있다.

놀라운 점은 확률에 대한 여러 정리들이 결국 이 2가지 규칙으로부터 유도된다는 것이다.

결국 확률의 기본은 다음 2가지라고 볼 수 있다.

결국 복잡한 확률의 성질들도 이 2가지 규칙을 바탕으로 만들어진다.

출처
부스트코스
Statistics 110