[알고리즘] 최소신장트리(MST, Minimum-cost Spanning Tree)

Spanning Tree

Spanning Tree 란

그래프 내의 모든 정점을 포함하는 트리

• Spanning Tree = 신장트리 = 스패닝 트리
• 신장트리는 그래프의 최소 연결 부분 그래프 이다
  * 최소 연결 = 간선의 수가 가장 적다
  • n개의 정점을 가지는 그래프의 최소 간선의 수는 (n-1)개 이고, (n-1)개의 간선으로 연결되어 있으면 필연적으로 트리형태가 되고 이것이 바로 Spanning Tree가 된다.
• 즉, 그래프에서 일부 간선을 선택해서 만든 트리.
• 깊이 우선 신장트리, 너비 우선 신장트리

Spanning Tree 특징

• DFS, BFS을 이용하여 그래프에서 신장트리를 찾을 수 이싿.
  - 탐색 도중 사용된 간선만 모으면 만들 수 있다.
• 하나의 그래프에는 많은 신장 트리가 존재할 수 있다.
• 신장트리는 특수한 형태이므로 모든 정점들이 연결되어 있어야 하고, 사이클을 포함해서는 안된다.
• 따라서 신장트리는 그래프에 있는 N개의 정점을 정확히 (N-1)개의 간선으로 연결한다.

Spanning Tree의 사용 사례

• 통신 네트워크 구축
  
• 예를 들어, 회사 내의 모든 전화기를 가장 적은 수의 케이블을 사용하여 연결하고자 하는 경우
• n개의 위치를 연결하는 통신 네트워크를 최소한의 링크(간선)을 이용하여 구축하고자 하는 경우, 최소 링크의 수는 (n-1)개가 되고, 따라서 Spanning tree 가 가능해진다.

MST

MST 란

Spanning Tree 중에서 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 트리

• MST = Minimum Spanning Tree = 최소 신장 트리

• 각 간선의 가중치가 동일하지 않을 때 단순히 가장 적은 간선을 사용한다고 해서 최소 비용이 얻어지는 것이 아니다.
• MST는 간선에 가중치를 고려하여 최소 비용의 Spanning Tree를 선택하는 것을 말한다.
• 즉, 네트워크(가중치를 간선에 할당한 그래프)에 있는 모든 정점들을 가장 적은 수의 간선과 비용으로 연결하는 것을 말한다.
• Kruskal,Prim,Sollin 알고리즘 : 모두 Greedy method

  Greedy Algorithm

  • 최적의 해를 단계별로 구한다.
  • 각 단계에서는 몇 개의 판단 기준에 따라 최상의 결정을 내린다
  • 한번 내려진 결정은 뒤에 번복이 불가능하므로 각각의 결정이 가능한 해를 도출해낼 수 있는지 확인

MST의 특징

1. 간선의 가중치의 합이 최소여야 한다.
2. N개의 정점을 가지는 그래프에 대해 반드시 (N-1) 개의 간선만을 사용해야 한다.
3. 사이클이 포함되어서는 안된다.
4. 그래프 내에 있는 간선들만을 사용하여야 한다

MST의 사용 사례

통신망, 도로망, 유통망에서 길이, 구축비용, 전송시간 등을 최소로 구축하려는 경우

• 도로 건설
  - 도시들을 모두 연결하면서 도로의 길이가 최소가 되도록 하는 문제
• 전기 회로
  - 단자들을 모두 연결하면서 전선의 길이가 가장 최소가 되도록 하는 문제
• 통신
  - 전화선의 길이가 최소가 되도록 전화 케이블 망을 구성하는 문제
• 배관
  - 파이프를 모두 연결하면서 파이프의 총 길이가 최소가 되도록 연결하는 문제

MST의 구현방법

Kruskal MST 알고리즘

탐욕적인 방법(greedy method)을 이용하여 네트워크(가중치를 간선에 할당한 그래프)의 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는 최적 해답을 구하는 것

• MST가 1) 최소 비용의 간선으로 구성됨 2) 사이클을 포함하지 않음의 조건에 근거하여 각 단계에서 사이클을 이루지 않는 최소 비용 간선을 선택 한다.
• 간선 선택을 기반으로 하는 알고리즘이다.
• 이전 단계에서 만들어진 신장트리와는 상관 없이 무조건 최소 간선만을 선택하는 방법이다.

[과정]

1. 그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬한다.
2. 정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선을 선택한다.

• 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.
• 사이클을 형성하는 간선을 제외한다.

3. 해당 간선을 현재의 MST의 집합에 추가한다.

Prim MST 알고리즘

시작 정점에서 부터 출발하여 신장트리 집합을 단계적으로 확장 해나가는 방법

• 정점 선택을 기반으로 하는 알고리즘이다.
• 이전 단계에서 만들어진 신장 트리를 확장하는 방법이다.

[과정]

1. 시작단계에서는 시작 정점만이 MST 집합에 포함된다.
2. 앞 단계에서 만들어진 MST 집합에 인접한 정점들 중에서 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하여 트리를 확장한다.

• 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.

3. 위의 과정을 트리가(N-1)개의 간선을 가질때까지 반복한다.

MST 관련 문제

최소 스패닝 트리-백준 1197번
네트워크 연결-백준 1922번