TIL 다시 시작

학기가 저번주로 종강을 했다.
기말고사 기간으로 인해 TIL을 하지 못했다.
방학기간이 끝난 새해 첫주 이기에 오늘부터 다시 화이팅 이다!!!

확률변수

• 확률변수 X는 표본의 집합 S의 원소 e를 실수값 X(e) = x에 대응 시키는 함수이다

여기서 중요한것은 확률변수 또한 함수이다.

• 대문자 X, Y ....로 표현한다
• 소문자 x, y, .. 의 경우 확률변수가 가질 수 있는 값 들이다

예시를 들어보면
아래 사진을보자

위 주머니에서 공 2개를 뽑을때 나오는 표본의 공간은 3가지 이다.

이때 빨간공 의 갯수를 확률 변수 X로 두면
X가 1일때, X = 1, X = 2 일대 ..etc 으로 확률변수가 된다.

즉 위 표본공간에서 빨간공의 개수 라는 함수로 주어지게 되어 이를 정량화 할 수 있게 됐다.
X = f(x) = { x | x 는 빨간 공의 개수}
위 처럼 표현 될 수 있다.

위와 같은 상황일때 우리는 확률을 구할수있다.
p[X = 1] : 빨간공의 개수가 1개일 확률 -> $p[X = 1] = {2/3(전체 표본의 갯수)}$

확률변수의 함수(Function of Random Variables)

Inverse CDF Technique

• 확률변수 X가 CDF $Fx(x)$를 가진다고 하자, 확률변수 $U - UNIF(0,1)$의 함수로 정의되는 다음 확률변수 $Y$를 생각해보자.

• $Y = Fx ^{-1}(U)$

• 확률변수 $Y$ 는 확률변수 $X$와 동일한 분포를 따르게 된다.

이게 무슨의미 일까?

우리가 어떤 X의 확률분포 $p(x)$를 알고 있다고 가정하자.
이때 $p(x)$를 활용해 실험을 하기위해 sampling을 하려 한다.
분포를 알기에 너무 쉽게 샘플링이 가능할것 같지만 어렵다

하지만 위 방법을 활용하면 이는 쉽게 샘플링을 할 수 가 있다.

• 조건은 확률변수 $X$의 경우 역함수가 존재 해야 한다.

증명

실제 코드에서 활용해 보자

#cdf: F(d) = d**2 /r**2 
#inverse cdf : r *(u**0.5)


import turtle
import math
import random

wn = turtle.Screen()
turtle.tracer = (8,0)
alex = turtle.Turtle()
alex.hideturtle()
r = 200
for i in range(5000):
    u = random.random() #0 ~ 1 U pdf를 따르는 u
    d = r * (u**0.5) # 역함수 
    theta = random.random()*360
    x = d * math.cos(math.radians(theta))
    y = d * math.sin(math.radians(theta))
    alex.penup()
    alex.setposition(x, y)
    alex.dot()
turtle.update()
wn.mainloop()

만약 역함수를 잘못된 함수로 샘플링을 하게되면 어떻게 될까?

d = r * u # d = r * (u**0.5)원래의 함수에서 바꿔주었다.

!

샘플링이 고르게 되지 않고 가운데에 몰려 있는것을 확인할 수 있다.