[Linear Algebra] Day 21. Matrix vector products

hotsun1508·2022년 3월 8일
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Linear Algebra

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이 글은 칸아카데미의 '선형대수학(Linear algebra)' 강의를 참고하여 작성하였습니다.
링크: Khan academy

행렬과 벡터의 곱에 대해 알아보자.


A=m×nA = m \times nx=[x1x2xn]\overrightarrow{x} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}

행렬 A를 x\overrightarrow{x}와 곱해보자.

이 때, 열벡터 x의 개수가 행렬 A의 열의 개수와 같아야지만 연산이 가능하다.

AxA\overrightarrow{x}를 풀어쓰면 b\overrightarrow{b}로 나타낼 수 있다.

그렇다면 b\overrightarrow{b}의 entry(항목)은 몇개일까?

  • 행렬 A에 있는 각 행벡터와 열벡터 x를 내적하는 것과 같다.
  • 행렬 A의 첫번째 성분 곱하기 벡터 x의 첫번째 성분 ... and so on.

여기서 AA의 크기는 m×nm \times n이고, x\overrightarrow{x}의 크기는 n×1n \times 1이므로 이 둘을 곱한다고 쓸 수 있다. 가운데 항목이 같으므로 없애주면 행렬 AxA\overrightarrow{x} = b\overrightarrow{b}의 크기는 m×1m \times 1이 된다.

  • 행렬의 곱셈이 가능하려면, 가운데 두 항이 같아야 한다.

실제 숫자를 적용한 예시로 넘어가보자.

크기가 2×42 \times 4인 행렬과 4×14 \times 1인 행렬을 곱해보자.

첫번째 matrix의 행 각각을 행벡터로 보았을 때, 연산의 결과는 첫번째 행벡터와 두번째 열벡터의 내적이 된다.

앞서 언급했듯이 2×42 \times 4 행렬의 행 각각을 행벡터로 본다면,
이를 a1\overrightarrow{a_1}, a2\overrightarrow{a_2}의 전치행렬로 나타낼 수 있게 된다.

즉, [a1a2]\begin{bmatrix}\overrightarrow{a_1}\top\\\overrightarrow{a_2}\top\end{bmatrix} x\overrightarrow{x} = [a1xa2x]\begin{bmatrix}\overrightarrow{a_1}\cdot \overrightarrow{x}\\\overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{x}\end{bmatrix}이므로

전치행렬과 x\overrightarrow{x}의 내적은 열벡터끼리의 내적과 같음을 알 수 있다.

다음 예시는 행렬 A의 행벡터가 아닌 열벡터의 집합으로 생각해보자.
A벡터의 열벡터를 각각 V1\overrightarrow{V_1}, V2\overrightarrow{V_2}, V3\overrightarrow{V_3}, V4\overrightarrow{V_4}라고 하자.

이를 x\overrightarrow{x}와 곱해주면 위와 같은 식이 나온다.
강의에서 "the matrix X dictates the weights on each of the columns are."라고 설명 되어 있으므로, x\overrightarrow{x}가 가중치 행렬이 된다.

이 식을 통해, 행렬 A의 열벡터들의 선형조합으로 나타낼 수 있음을 알 수 있다.

= linear combination of column vectors of A

오늘은 늦잠을 자지 않은 기념으로 스터디 인증샷 ,, ,ㅎ

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나는 커서 무려 내가 되겠지

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