단일 모집단

✅ 올바른 해석
"이 방식으로 구간을 100번 반복해서 만들면, 그 중 95번은 μ를 포함하는 구간이 만들어진다"
움직이는 건 μ가 아니라 → 구간 자체!

1. 모평균의 구간추정 (모분산 알 때)

• 크기가 n ($n>=30$)인 표본을 추출했을 때 중심극한정리(CLT)에 표본평균분포는 정규분포를 따름

  $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

• 구간추정을 위해 표준정규분포로 변환

  $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0, 1)$

• 신뢰수준 설정

• 모평균에 대한 수식 정리
  $P\left(-Z_{\alpha/2} \le \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le Z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$
  $P\left(-Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar{X} - \mu \le Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$
  $P\left(-\bar{X} - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le -\mu \le -\bar{X} + Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$
  $P\left(\bar{X} - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$

2. 모평균의 구간추정 (모분산을 모를 때)

• 모분산($\sigma^2$)을 알 수 없으므로, 표본에서 구한 표본표준편차($s$)를 대신 사용함

• 구간추정을 위해 자유도가 $n-1$인 $t$-분포로 변환

  $t = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \sim t(n-1)$

• 신뢰수준 설정

  $P(-t_{\alpha/2, n-1} \le t \le t_{\alpha/2, n-1}) = 1 - \alpha$

• 모평균에 대한 수식 정리

  $P\left(-t_{\alpha/2, n-1} \le \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \le t_{\alpha/2, n-1}\right) = 1 - \alpha$
  $P\left(-t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \le \bar{X} - \mu \le t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$
  $P\left(-\bar{X} - t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \le -\mu \le -\bar{X} + t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$
  $P\left(\bar{X} - t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha$

3. 모비율의 구간추정

• 표본의 크기 n이 충분히 클 때($n\hat{p} \ge 5, n(1-\hat{p}) \ge 5$), 중심극한정리에 의해 표본비율 $\hat{p}$의 분포는 정규분포에 근사함

  $\hat{p} \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

• 모비율 $p$를 알 수 없으므로, 분산(표준오차)을 계산할 때 표본비율 $\hat{p}$을 대신 대입하여 표준정규분포로 변환

  $Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} \sim N(0, 1)$

• 신뢰수준 설정

  $P(-Z_{\alpha/2} \le Z \le Z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha$

• 모비율에 대한 수식 정리

  $P\left(-Z_{\alpha/2} \le \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} \le Z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$
  $P\left(-Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le \hat{p} - p \le Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right) = 1 - \alpha$
  $P\left(-\hat{p} - Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le -p \le -\hat{p} + Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right) = 1 - \alpha$
  $P\left(\hat{p} - Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right) = 1 - \alpha$

4. 모분산의 구간추정

• 모집단이 정규분포를 따를 때, 크기가 $n$인 표본의 표본분산 $s^2$을 이용하여 자유도가 $n-1$인 카이제곱($\chi^2$) 분포로 변환

  $\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

• 신뢰수준 설정 (chi^2분포는 0이상의 값만 가져서 임계값을 각각 $\chi^2_{1-\alpha/2}$, $\chi^2_{\alpha/2}$로 설정)

  $P(\chi^2_{1-\alpha/2, n-1} \le \chi^2 \le \chi^2_{\alpha/2, n-1}) = 1 - \alpha$

• 모분산 $\sigma^2$에 대한 수식 정리

  $P\left(\chi^2_{1-\alpha/2, n-1} \le \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \le \chi^2_{\alpha/2, n-1}\right) = 1 - \alpha$
  $P\left(\frac{1}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \le \frac{\sigma^2}{(n-1)s^2} \le \frac{1}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}\right) = 1 - \alpha$
  $P\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}\right) = 1 - \alpha$