1.4 Matrix Notation and Matrix Multiplication

이 글에서는 선형대수학의 기초인 행렬 표기법과 행렬 곱셈의 정의, 그리고 그 성질들을 자세하게 살펴봅니다. 이 내용은 이후 가우스 소거법, LU 분해 등 고급 주제로 나아가기 위한 탄탄한 기초를 제공합니다.

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1. 선형 시스템의 행렬 표기법

연립방정식을 간결하게 표현하기 위해 보통 다음 세 가지 요소를 사용합니다:

• 계수 행렬 $A$
  각 방정식의 계수를 모아 $m \times n$ 행렬로 표현합니다.
• 미지수 벡터 $\mathbf{x}$
  미지수들을 열벡터로 나타내며, 크기는 $n \times 1$입니다.
• 상수 벡터 $\mathbf{b}$
  각 방정식의 우변 상수를 모은 $m \times 1$ 열벡터입니다.

따라서 연립방정식은 다음과 같이 표현됩니다.

예를 들어, 아래 두 개의 방정식

는 다음과 같이 행렬로 나타낼 수 있습니다.

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2. 행렬과 벡터의 곱셈

(1) 행렬-벡터 곱셈의 정의

행렬 $A = (a_{ij})$와 벡터 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$의 곱 $A\mathbf{x}$는 각 행과 벡터의 내적(점곱)으로 정의됩니다.
즉, $A\mathbf{x}$의 $i$번째 성분은

(2) 열의 선형 결합 관점

또한, 행렬 $A$의 열들을 $\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \dots, \mathbf{A}_n$이라고 할 때,

즉, $A\mathbf{x}$는 행렬 $A$의 열들의 선형 결합으로 해석할 수 있습니다.

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3. 행렬과 행렬의 곱셈

두 행렬 $A$ (크기 $m \times n$)와 $B$ (크기 $n \times p$)를 곱하면, 결과는 $m \times p$ 행렬 $AB$가 됩니다.
각 원소는 다음과 같이 정의됩니다.

이 정의를 다양한 관점에서 살펴보면:

• 행 단위 관점:
  $A$의 $i$번째 행과 $B$의 $j$번째 열의 내적으로 $(AB)_{ij}$를 구합니다.
• 열 단위 관점:
  $B$의 $j$번째 열 $\mathbf{b}_j$에 대해 $A\mathbf{b}_j$를 계산하면, 그 결과가 $AB$의 $j$번째 열을 구성합니다.
• 개별 원소 관점:
  각 $(i,j)$ 원소는 $A$의 $i$번째 행 원소와 $B$의 $j$번째 열 원소의 곱의 합입니다.

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4. 행렬 곱셈의 주요 성질

(1) 결합 법칙 (Associativity)

행렬 곱셈은 결합법칙을 만족하므로, 괄호의 위치에 상관없이 동일한 결과를 줍니다.

(2) 분배 법칙 (Distributivity)

행렬 덧셈과 곱셈은 서로 분배되는 성질을 가집니다.

(3) 비가환성 (Non-Commutativity)

행렬 곱셈은 순서에 민감하여, 보통 $AB$와 $BA$는 서로 다릅니다.

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5. 다양한 관점에서의 행렬 곱셈 해석

행렬 곱셈을 이해하는 여러 가지 방법은 다음과 같습니다:

(1) 행 단위 곱셈 (Row-wise Multiplication)

각 행 $i$의 결과는, $A$의 $i$번째 행과 $B$의 각 열의 내적으로 계산됩니다.

(2) 열 단위 곱셈 (Column-wise Multiplication)

$B$의 $j$번째 열 $\mathbf{b}_j$에 대해 $A\mathbf{b}_j$를 계산하면, 그 결과가 $AB$의 $j$번째 열을 형성합니다.

(3) 블록 행렬 곱셈 (Block Multiplication)

큰 행렬을 더 작은 부분 행렬(블록)로 나누어 곱셈을 수행할 수 있습니다.
이 방법은 컴퓨터 알고리즘이나 대규모 행렬 계산에서 효율성을 크게 높여줍니다.

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6. 결론

1.4절에서는 행렬을 사용하여 선형 시스템 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$를 간단하게 표현하는 방법을 소개하고,
행렬과 벡터의 곱셈의 정의 및 여러 해석(내적, 선형 결합, 블록 곱셈 등)을 살펴보았습니다.
또한, 행렬 곱셈의 결합법칙, 분배법칙, 그리고 비가환성 등의 주요 성질을 이해함으로써,
이후 가우스 소거법, LU 분해 등 고급 선형대수 기법의 기초를 다질 수 있습니다.

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