Inverse and Transpose

역행렬 $(A^{-1})$
행렬 $A$가 $n \times n$ 정사각행렬일 때, 그 역행렬 $A^{-1}$는 다음 조건을 만족합니다.
$A\, A^{-1} = A^{-1}\, A = I$
여기서 $I$는 모든 주대각선 원소가 1이고, 나머지 원소는 0인 $n \times n$ 항등행렬입니다.

• 역행렬의 역할
  $A^{-1}$는 $A$에 의해 변환된 결과를 원래 상태로 복원하는 “역변환” 역할을 합니다. 예를 들어, 선형 시스템 (Ax = b)의 유일한 해는
  $x = A^{-1}b$
  로 표현됩니다.

• 역행렬 존재 조건

  1. 유일한 해의 조건:
     $Ax = 0$의 해가 오직 $x=0$이어야 합니다. 만약 $x \neq 0$인 해가 존재하면, $A^{-1}$가 존재할 수 없습니다.
  2. Elimination과 피벗:
     Gaussian elimination(또는 Gauss–Jordan 소거법)을 진행할 때, $A$가 $n$개의 피벗을 반드시 확보해야 합니다. 피벗의 수가 $n$개 미만이면 $A$의 행렬식이 0임을 의미하며, 이 경우 $A$는 특이(singular)하여 역행렬이 존재하지 않습니다.

• Gauss–Jordan 소거법을 통한 역행렬 계산

  • 원리:
    확장 행렬 $[A\;|\;I]$에 기본 행 연산(행 교환, 배수 곱셈, 행 덧셈)을 적용하여 $[I\;|\;A^{-1}]$의 형태로 변환합니다.
  • 과정:
    수행된 각 행 연산은 해당 기본 행렬 $E_1, E_2, \dots, E_k$로 표현되며,
    $E_k \cdots E_2\,E_1\,A = I$
    가 됩니다. 따라서 오른쪽에 있던 $I$는 $A^{-1} = E_k \cdots E_2\,E_1$로 바뀝니다.
  • 연산 복잡도:
    전진 소거와 후진 소거를 모두 포함하면, 일반적인 $n \times n$ 밀집 행렬에 대해 전체 연산 수는 약 $O(n^3)$입니다.

전치행렬 $A^T$
행렬 $A$의 전치행렬 $A^T$는 $A$의 행과 열을 뒤바꾼 행렬입니다.
즉, 각 원소는
$(A^T)_{ij} = A_{ji}$
의 관계를 갖습니다.

• 전치행렬의 주요 성질

  • 덧셈:
    $(A+B)^T = A^T + B^T$
  • 곱:
    $(AB)^T = B^T\,A^T$
    (행렬 곱의 전치는 곱의 순서를 반대로 뒤집습니다.)
  • 역행렬과의 관계:
    만약 $A$가 가역이면, $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$가 성립합니다.

• 대칭행렬
  행렬 $A$가 $A^T = A$를 만족하면, $A$는 대칭행렬(symmetric matrix)입니다.

  • 가역 대칭행렬의 경우, 역행렬 $A^{-1}$)도 대칭입니다.
  • 임의의 행렬 $R$에 대해 $R^T R$ 또는 $R R^T$는 항상 대칭행렬이 되어, 최소제곱법이나 주성분 분석 등 다양한 응용 분야에서 활용됩니다.

이와 같이, 역행렬과 전치행렬은 선형 시스템의 해법과 행렬 분해, 최적화 문제 등 여러 분야에서 기본적이며 필수적인 역할을 합니다.
각 개념의 존재 조건과 계산 방법, 그리고 연산 복잡도를 명확히 이해하면 선형대수학의 다양한 응용 문제를 효과적으로 다룰 수 있습니다.