연속형 확률분포

균일분포(Uniform Distribution)

$X$에 대한 확률밀도함수(PDF)가 다음과 같이 주어진 경우, 구간 $(a,b)$에서의 균일확률변수라고 한다.

• 누적분포함수(CDF): $F(x)=\frac{x-a}{b-a}, \quad a\le x\le b$
• $E[X]=\int_a^bx\cdot\frac{1}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}, \quad Var[X]=\frac{(b-a)^2}{12}$
• 균일분포의 $p$번째 분위수 $x_p$는 다음과 같다.
  $F(x_p)=\frac{x_p-a}{b-a}=p, \quad x_p=(1-p)a+pb$
  • Median의 경우 $p=\frac{1}{2}$, upper quartile의 경우 $p=\frac{3}{4}$이다.

지수분포(Exponential Distribution)

일정 시간 동안 발생하는 사건의 횟수가 포아송 분포를 따른다면, 다음 사건이 일어날 때까지 대기 시간은 지수분포를 따른다. (기하분포의 연속형 version)
$X$가 빈도를 나타내는 모수 $\lambda$를 갖는 지수확률변수라고 할 때 확률밀도함수는 다음과 같다.

• 누적분포함수(CDF): $F(x)=\int_0^x\lambda e^{-\lambda u}du=1-e^{-\lambda x}, \quad x\ge0$
• $P(X>s+t|X>s)=\frac{e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)$
  • 이 수식을 만족하는 성질을 무기억성이라고 한다. 이전까지 시행된 결과가 다음 시행에 영향을 주지 않는 것을 말하며, 기하분포와 유사하다.
• 적률생성함수
  $M_X(t)=E[e^{tx}]=\int_0^\infin e^{tx} \lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{\lambda}{t-\lambda}$
• $E[X]=\int_0^{\infin}x\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda}$
• $Var[X]=\frac{1}{\lambda^2}$
• 변동계수 (Coefficient of Variation): $CV(X)=\frac{\sqrt{Var(X)}}{E[X]}=1$
  • 측정 단위가 다른 자료를 비교할 때 사용한다. 표준 편차가 같더라도 측정 단위(평균 등)가 다를 수 있으므로 사용한다.
• P-th quantile: $F(x_p)=1-e^{-\lambda x_p}=p$, $x_p=-\frac{\ln(1-p)}{\lambda}$

감마분포(Gamma Distribution)

사건이 발생하는 시간 사이 간격은 서로 독립적이고 모수가 $\lambda$인 지수분포를 각각 따른다고 할 때, $\alpha$번째 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간은 감마분포를 따른다.
$X$가 모수 $\lambda>0, \quad \alpha>0$을 갖는 감마확률변수라고 할 때$(X\sim\Gamma(\alpha,\lambda))$, 다음을 만족한다.

• 감마 함수는 다음과 같이 정의한다.
  $\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infin}e^{-x}x^{\alpha-1}dx=(\alpha-1)!$
  Factorial의 복소수 확장이라고 볼 수 있다.
• $E[X]=\frac{\alpha}{\lambda}$
• $Var[X]=\frac{\alpha}{\lambda^2}$
• $CV(X)=\frac{\sqrt{\alpha/\lambda^2}}{\alpha/\lambda}=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}<1$

지수, 포아송분포, 감마분포 간의 관계

처음 사건이 발생할 때까지의 대기시간은 지수분포를 따른다. 즉, 지수분포는 $\alpha=1$인 감마분포이다.
$\alpha$번째 도착까지의 대기시간은 감마분포를 따른다.
길이가 $x$인 구간에서의 도착 횟수 $Y$는 평균 $\mu=\lambda x$인 포아송분포를 따른다.

와이블분포(Weibull Distribution)

와이블 분포는 고장 및 대기시간을 모형화하는 데 자주 사용된다. 척도 모수 $\alpha>0$와 형태 모수 $\beta>0$을 가지는 와이블 확률밀도함수는 다음과 같다.

• 누적밀도함수: $F(x)=1-e^{-(\alpha x)^\beta}$
• 형태 모수 $\beta=1$인 경우, 와이블 분포는 지수분포와 동일하다.
• $E[X]=\frac{1}{\alpha}\Gamma(1+\frac{1}{\beta})$
• $Var[X]=\frac{1}{\alpha^2}\Big(\Gamma(1+\frac{2}\beta)-\Gamma(1+\frac{1}{\beta})^2\Big)$
• $x_p=\frac{(-\ln(1-p))^{1/\beta}}{\alpha}$

베타분포(Beta Distribution)

확률변수값 자체가 확률인 경우에 이에 대한 확률분포를 베타분포라고 한다. 베타분포는 형상 모수(성공 횟수) $\alpha$와, 또다른 형상 모수(실패 횟수) $\beta$로 정의된다.
베타함수는 다음과 같다.

$0\le x\le1$ 상태 공간을 가지고 있으며, 비율을 모형화할 때 사용된다. 베타분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

• $E[X]=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$
• $Var[X]=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$