👨‍🏫 본 글은 칸 아카데미의 수업을 듣고 정리한 글 입니다.

• Introduce to linear independence
• more on linear independece
• span and linear independence example

Introduce to linear independence

🎈 이번 시간에는 선형 독립에 대해 학습할 예정입니다. 그 전에 위의 vector의 span은 어떤 실수 공간을 표현할 수 있을까요?

🎈 위의 그래프에서 볼 수 있듯이 $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 벡터의 2배의 스칼라 곱을 하면 $\begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}$ 벡터로 표현할 수 있는 것을 볼 수 있습니다. 이를 다르게 표현하면 $C_3\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 라고도 표현 할 수 있습니다.

🎈 위의 벡터를 그래프로 그려보면 위와 같은 직선을 표현하는 것을 볼 수 있습니다. 또한 $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$와 $\begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}$의 벡터들에 대해 선형 종속한다고 이야기 할 수 있습니다.

🎈 위의 그래프와 같이 두 벡터의 span은 $\mathbb{R}^2$의 공간을 표현하고 있습니다. 만약 $\mathbb{R}^3$의 span을 찾기 위해선 평면에서 벗어난 벡터가 필요합니다. 이유는 평면에서 표현 할 수 있는 모든 벡터들은 위의 두 벡터로 표현 할 수 있기 때문입니다.

🎈 $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 7 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 9 \\ 5 \end{bmatrix}$ 벡터들은 선형 종속 일까요? 선형 독립 일까요?

🎈 정답은 선형 종속의 집합이라고 말할 수 있습니다. 위의 그래프에서 볼 수 있듯이 두 벡터가 나머지 2차원의 평면에 있는 모든 벡터들을 설명할 수 있기 때문입니다.

🎈 이번에는 선형 독립을 나타내는 또 다른 예시입니다.

More on linear independence

🎈 위의 식은 지금까지 이야기 했던 선형 종속에 대한 정의입니다.

🎈 위의 정의가 맞는지 확인 해보기 위해 몇 가지 예시와 함께 확인해보겠습니다. 위의 두 벡터는 는 선형 독립의 집합입니다. 선형 독립이 되기 위해선 벡터들의 합을 영벡터로 만들기 위해선, 오직 $C_i$들이 0일때만을 만족해야 합니다. 위의 벡터들은 조건을 만족함으로 선형 독립이라고 이야기 할 수 있습니다.

🎈 이것은 선형 종속에 대한 또 다른 예시입니다.

Span and linear inpedence example

🎈 위의 식은 span과 선형 독립(종속)에 대한 또 다른 예시입니다. 위의 식은 결과적으로 3차원의 공간을 표현하고 선형 독립인 집합입니다. 위의 풀이를 하나씩 천천히 따라가면 이해할 수 있습니다.

👨‍🏫 이번 수업에는 선형 독립과 종속에 대해서 배워봤습니다. 많은 예시와 시각적으로 확인할 수 있으므로 수월하게 이해할 수 있었던 것 같습니다. 만약 이해가 되지 않다면, 위의 예시와 같이 한번씩 그려보고 풀어보시는 걸 추천드립니다.!