👨‍🏫 본 글은 칸 아카데미의 수업을 듣고 정리한 글 입니다.

• Linear subspace

Linear subspace

🎈 오늘은 선형 부분공간(linear subspace)에 대해 학습합니다. 우리는 Subspace of $\mathbb{R}^n$에 대해 위와 같이 정의 할 수 있습니다. $\mathbb{R}^n$은 각 벡터가 n개의 성분을 가지고 있는 무한히 큰 벡터의 집합입니다. 간단하게 백터의 집합이라고 생각할 수 있습니다.

🎈 $V$는 subset of $\mathbb{R}^n$은 이라고 말할 수 있습니다. 위의 그림과 같이 표현할 수 있습니다. 위의 조건을 만족하기 위해선 위에 적혀 있는 3가지의 조건을 만족해야합니다.

🎈 첫번째 예시 입니다. 위의 $\vec{0}$벡터는 $\mathbb{R}^3$의 subspace인지 확인해보겠습니다.

🎈 $\vec{0}$벡터는 당연히 $\vec{0}$를 지나갑니다. $\vec{0}$에 어떤 스칼라 $C$ 곱해도 항상 같은 결과가 나옵니다. 덧셈 연산 또한 동일합니다. 결과적으로 subspace이라고 말할 수 있습니다.

🎈 위의 집합 $S$는 $\mathbb{R}^2$의 부분집합인지 확인해 봅시다.

🎈 위의 그래프에서 확인해 볼 수 있듯이, zero vec를 지납니다. 두 임의의 벡터의 합 연산 역시 위의 정의를 만족합니다. 하지만 스칼라 $C$를 곱한 연산을 할 때 음수인 스칼라 $C$를 곱한다면 정의에 만족하지 않습니다. 결과적으로 subspace가 아닙니다.

🎈 이번에는 span으로 이루어진 집합 $U$에 대한 증명을 해보겠습니다. (참고로 위의 $\mathbb{R}^2$는 오타이고, $\mathbb{R}^n$이 맞는 정의입니다.) 집합 $U$는 위와 같이 선형결합으로 표현할 수 있습니다.

🎈 위의 식을 보시면 모든 조건을 만족하는 것을 볼 수 있습니다.

🎈 더 구체적으로 집합 $U$는 위의 그래프와 같은 직선의 공간을 표현합니다. 위 직선에 대한 조건을 확인하면 모든 조건에 만족하는 것을 알 수 있습니다.