👨‍🏫 본 글은 칸 아카데미의 수업을 듣고 정리한 글 입니다.

• Proof of the Cauchy-Schwarz inequality

Proof of the Cauchy-Schwarz inequality

🎈 오늘은 코시-슈바르츠 부등식에 대해 학습합니다. 이름만 보면 무시무시해 보이지만 이해하기 어려운 부등식은 아니라고 생각합니다.

🎈 위의 식 그대로 $\vec{x} , \vec{y}$가 위의 조건을 만족할 때 $\vec{x} , \vec{y}$의 내적은 각각의 norm(길이)의 곱보다 작거나 같은 조건을 의미합니다.

🎈 $p(t)$를 $\|t\vec{y} - \vec{x}\|^2$ 라고 생각하면 이 값은 항상 0보다는 같거나 클 것입니다. norm의 공식을 생각해보면 알 수 있습니다. 또한 위의 연산은 결과는 스칼라이기에 일반적인 수학(?) 연산을 수행할 수 있습니다. 결과적으로 아래와 같이 우리가 일반적으로 아는 2차 방정식과 비슷한 식을 확인할 수 있습니다.

🎈 $t$를 제외한 값들을 $a,b,c$로 치환하면 우리가 아는 2차 방정식이 나오고 이에 대한 판별식을 생각하면 아래와 같은 식을 확인할 수 있습니다. 판별식을 기존의 값으로 다시 치환에 생각하면 코시-슈와르츠 부등식을 간단하게 증명할 수 있습니다.