👨‍🏫 본 글은 칸 아카데미의 수업을 듣고 정리한 글 입니다.

• Defining the angle betweens Vectors

Defining the angle betweens Vectors

🎈 오늘은 벡터 간의 각도에 대해 학습합니다. 일반적으로 생각할 수 있는 각도와 다르게 벡터의 경우 다차원으로 이루어질수 있기 때문에, 고차원일수록 직관적으로 생각하기 어렵습니다. 즉, 다차원에서의 각도를 구할때에는 공식이 필요하다고 말할 수 있을 것 같습니다.

🎈 각도에 대한 공식을 이해하기 위해선 먼저 앞서 배웠던 백터의 삼각 부등식에 대해 알고 있어야합니다.

🎈 우리는 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a}-\vec{b}$를 사용해 위와 같은 삼각형을 생각할 수 있습니다. 나아가 벡터의 길이를 사용해 $\|\vec{a}\|, \|\vec{b}\|, \|\vec{a}-\vec{b}\|$로 이루어진 삼각형도 생각할 수 있습니다. 아시다 싶이 길이는 스칼라 값이기 때문에 우리가 아는 일반적인 삼각형이라는 것을 알 수 있습니다.

🎈 여기서 삼각 부등식을 사용해 증명할려고 하는 것은 한 변의 길이가 두 변의 길의의 합 보다는 작다 라는 것을 증명합니다. 이는 직관적으로도 충분히 이해할 수 있으며, 위위 식으로도 증명할 수 있습니다.

🎈 우리의 목표는 $\vec{a}, \vec{b}$의 각도인 $\theta$를 구하는 것입니다. 첫번째 예제와 비슷하게 또 다른 평범한 삼각형의 벡터의 길이로 표현할 수 있습니다. 이는 스칼로 이뤄져 있기 때문에 코사인 법칙에 대해서도 생각할 수 있습니다.

🎈 결론적으로 $\|\vec{a} \cdot \vec{b}\|$에 대해 각각의 길이와 코사인으로 표현 할 수 있으며, 이를 정리하면 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \cos\theta$라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

🎈 결론적으로 우린 위의 식을 사용해 $\theta$를 찾을 수 있습니다. 만약 $\vec{a}, \vec{b}$의 각도가 수직이라고 생각하면, 위의 식에 대입하면 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 것을 알 수 있습니다. 우리는 이를 "orthogonal" 이라고 부릅니다. 즉, 두 벡터가 "orthogonal"하다라고 하면 수직인 것이라고 생각하면 됩니다.