👨‍🏫 본 글은 칸 아카데미의 수업을 듣고 정리한 글 입니다.

• Defining a plane in $\mathbb{R}^3$ with a point and normal vector
• Cross product introduction
• Proof: Relationships between cross product and $\sin$ of angle

Defining a plane in $\mathbb{R}^3$ with a point and normal vector

🎈 오늘은 3차원에 존재하는 평면과 법선 벡터에 대해 학습합니다. "먼저 3차원의 공간에서의 면의 방정식"이라는 소제목과 함께 3차원 그래프를 확인할 수 있습니다.

🎈 3차원의 평면의 각각의 한 점을 $(x, y, z)$라고 표현할 수 있습니다. $\vec{a}$는 평면 위에 있는 임의의 vector 이며, $\vec{n}$은 normal vector(법선 벡터)로써 모든 평면에서 수직인 벡터입니다. 자연스럽게 normal vector(법선 벡터)에 대해 정의했습니다.

🎈 전에 "orthogonal"에 대해 배웠습니다. 또한 우리는 $\vec{a}$와 $\vec{n}$이 수직임을 알 수 있습니다. 따라서 자연스럽게 두 벡터의 내적이 0임을 알 수 있습니다.

🎈 이번에는 $\vec{n} + (x_0, y_0, z_0)$를 사용해 $Ax+By+Cz = D$라는 것을 증명합니다. $\vec{X}_0 = (x_0, y_0, z_0)$은 원점에서 시작하는 포지션 벡터입니다. 다른 $\vec{X} = (x, y, z)$라고 정의하고, 오른쪽의 그래프를 보면 쉽게 이해할 수 있습니다.

🎈 위의 벡터들을 사용해 $\vec{X} - \vec{X}_0$ 벡터가 평면 위에 있는 벡터라는 것을 확인할 수 있습니다. 따라서 $\vec{n} \cdot (\vec{X} - \vec{X}_0) = 0$임을 알 수 있습니다. 이를 전개해보면 위에 이야기 한$Ax+By+Cz = D$ 인 것을 알 수 있습니다.

🎈 위의 식에 대한 예시를 위에서 확인할 수 있습니다.

Cross product introduction

🎈 다음으로 Cross product(외적)에 대해 학습합니다. 외적은 오직 3차원 공간에서만 성립합니다. $\vec{a}$ x $\vec{b}$라고 표현하며 각각의 계산하는 방법은 판별식을 생각하면 수월하게 따라가실 수 있습니다.

🎈 Cross product(외적)의 결과로는 3차원의 벡터로 나오며, 이는 $\vec{a}$ , $\vec{b}$의 'orthogonal'한 벡터가 결과로 나옵니다. 이는 위의 간단한 예시로 확인할 수 있습니다. $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} = 0$이라고 하는데, 이게 맞는지 의문이 갑니다.(???)

🎈 $\vec{a}$ x $\vec{b}$ $\cdot$ $\vec{a}$는 위와 같이 증명할 수 있습니다.

Proof: Relationships between cross product and $sin$ of angle

🎈 우리는 외적의 길이를 위와 같이 표현할 수 있습니다. 기존의 각도에 대한 공식을 활용하는 것을 알 수 있습니다. 지금부터 증명을 하는데 어렵진 않지만, 증명 과정이 매우 더러움(?)을 확인할 수 있습니다.

🎈 위의 과정을 통해 증명할 수 있습니다.... 매우 증명과정이 길지만 사실 단순히 알고있는 지식을 활용해 전개하면 되는 부분이라 이해가 어렵지는 않습니다.