👨‍🏫 본 글은 칸 아카데미의 수업을 듣고 정리한 글 입니다.

• Vector triple product expansion(very optional)
• Normal vector from plane equation
• Point distance to plane

Vector triple product expansion

🎈 오늘은 삼중곱 전개 혹은 라그랑즈 공식에 대해 학습합니다. 이전에 Cross product라는 외적에 대해서 학습한 적이 있습니다. 이를 활용한 공식입니다. 결과적으로 오늘은 $\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})$에 대한 공식을 증명합니다.

🎈 먼저 $\vec{b} \times \vec{c}$에 대해 진행합니다. 이전에 배웠던 외적의 공식을 생각하면서 진행하면 이해할 수 있습니다.(참고로 $i, j, k$는 Unit vector(단위벡터)입니다.) 외적을 진행 후 다시 $\vec{a}$에 대해 연산을 진행합니다. 전개만 하면 되는 것이기에 천천히 따라가면 어렵지 않습니다.

🎈 $\vec{b} \times \vec{c}$의 결과를 바탕으로 $\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})$ 전개하면 위와 같이 진행할 수 있습니다.

🎈 결과적으로 위와 같은 공식을 얻을 수 있습니다. 사실 외적을 사용하는 것이 매우 한정적이기 때문에 필수적으로 알아야하는 것은 아닌 것이라고 생각됩니다.

Normal vector from plane equation

🎈 이번 식산에는 면의 방정식이 주어졌을 때, 법선벡터를 구하는 방법에 대해 학습합니다. 먼저 $i,j,k$는 단위 벡터라고 생각할 수 있습니다.(정확하지는 않지만, 기존에도 항상 저렇게 표현을 하셨으며 단위벡터라고 생각하지 않으면 이해가 안되기에... ). $\vec{n} = ai + bj + ck$를 평면의 법선 벡터라고 정의할 수 있습니다.

🎈 추가적으로 $\vec{p}_1, \vec{p}$를 평면의 위에 한 점을 가르키는 포지션 벡터라고 정의할 수 있습니다. 이전의 학습을 바탕으로 $\vec{p} - \vec{p}_1$가 평면 위의 벡터라는 것을 알 수 있습니다.

🎈 이를 바탕으로 $\vec{p} - \vec{p}_1$를 위와 같이 정의할 수 있으며, 자연스럽게 $\vec{n} \cdot \vec{p} - \vec{p}_1 = 0$이라는 정의를 도출 할 수 있습니다. 이를 전개 하면 $\vec{n} = Ai + Bj + Ck$를 도출 할 수 있습니다. (같은색의 형광펜이 같은것을 의미합니다.) 결과적으로 우리는 어떤 평면의 방정식을 알고 있으면 법선 벡터를 찾을 수 있게됩니다.

Point distance to plane

🎈 이번에는 평면 밖의 점에서 평면까지의 최단거리를 구하는 방법에 대해 학습합니다. 평면 밖의 점 $x_{0}, y_{0}, z_{0}$가 존재하고, 평면 위의 점 $x_{p}, y_{p}, z_{p}$ 위와 같이 정의할 수 있습니다.

🎈 $x_{p}, y_{p}, z_{p}$부터 $x_{0}, y_{0}, z_{0}$까지의 벡터를 $\vec{f}$라고 정의할 수 있습니다. 이를 최단 거리라고 이야기 할수는 없지만, 이를 사용의 위의 그림과 같이 삼각형을 그릴 수 있습니다. 또한 여기서 평면 밖의 점에서 수직으로 뻗은 거리가 최단 거리라는 것을 알 수 있습니다.(d)

🎈 $\vec{f}$ 위의 식으로 정의할 수 있고, $cos\theta$를 사용해 거리 d를 찾을 수 있습니다. 또한 거리 d의 값은 어떤 법선 벡터의 크기라고도 생각할 수 있습니다.

🎈 이전에 배웠던 방법들을 생각하면 $\|\vec{n}\| \cdot \|\vec{f}\| cos\theta$가 내적이라는 것을 알 수 있습니다. 이를 사용해 전개하면 위와 같은 공식을 얻을 수 있습니다.

🎈 위의 예제를 확인하면, 더 쉽게 이해할 수 있습니다.

👨‍🏫 항상 느끼는 것이지만, 이렇게 배운 내용을 글로써 정리하고 설명하는 것은 너무나도 어려운 일이라고 생각됩니다.(사실 글을 못써서 그렇지만..) 대부분 수식으로서 증명을 하기 때문에, 또한 위의 내용들은 어려운 수식들이 아니기에 하나씩 따라가다 보면 이해할 수 있습니다. 또한 따로 설명하지 않는 건 이전의 배웠던 내용들이라서 궁금하시면 이전 글을 확인해보시면 됩니다.