👨‍🏫 본 글은 칸 아카데미의 수업을 듣고 정리한 글 입니다.

• Dot and Cross product Comparison/inituition

🎈 오늘은 외적과 내적에 대해 학습합니다. 이전의 내적과 외적에 대해 학습을 했습니다만, 단지 공식을 배웠을 뿐 그것이 무었을 의미하는지는 학습하지 않았던 것 같습니다. 이번 강의에서 외적 내적의 직관적인 의미를 배울 수 있습니다.

Dot and Cross product Comparsion/inituition

🎈 먼저 내적에 대해 알아보겠습니다. 이전에 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \cos\theta$ 와 같은 내적의 공식에 대해 학습했습니다. 이를 위와 같이 그림으로 표현해볼 수 있습니다. 또한 $\cos\theta$는 이웃한 변 / 빗변인 것을 알고있으며, 빗변은 $\|\vec{a}\|$, 이웃한 변을 $adj$라고 하면, $\cos\theta= {adj\over \|\vec{a}\|}$ 를 유도할 수 있습니다.

🎈 여기서 중요한 건 $adj$ 인데, 이는 노란 형광 부분을 의미합니다.

🎈 결론적으로 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{b}\| \cdot adj$라고 표현할 수 있습니다. 또한 이를 바탕으로 내적이란 것은 얼마나 두 벡터가 같은 방향을 향하는 지, 벡터의 길이로 표현한 것이라고 생각할 수 있습니다. 이에 대한 예시로는 우리가 계속해서 배웠던 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, orthogonal 한 내적을 보면 이 두 벡터는 90도의 각을 이루기에 0의 값이 나옵니다.

🎈 다음 외적의 직관적인 의미에 대해 학습합니다. 외적은 3차원이라는 한정된 공간에서만 가능한 공식입니다. 이전의 각 벡터의 외적의 길이 공식을 배웠었습니다. 이를 위와 내적과 동일하게 생각해보면, $\sin\theta= {op\over \|\vec{a}\|}$ 알고 있고, 이를 사용해 $\|\vec{a}\|\sin\theta= {op}$ 라는 것을 알 수 있습니다. 사실 모든 전개과정이 위의 내적과 동일합니다.

🎈 결과적으로 외적은 얼마나 두 벡터가 수직인지를 확인하는 것 입니다. 위의 예시에서 확인 할 수 있듯이 두 벡터가 직각이면 가장 큰 값인 것을 알 수 있고($sin90 = 1$), 반대로 두 벡터의 각이 0이면 길이는 0일 것입니다.($sin0 = 0$)

🎈 추가적으로 알 수 있는건 평행사변형의 넓이를 위의 식에 따라 외적의 길이로 알 수 있습니다.