[코딩 테스트] - 서로소 집합 자료구조

서로소 집합 자료구조

• 서로소 집합: 공통 원소가 없는 두 집합

  

• 서로소 집합 자료구조

  • 서로소 부분집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
  • 두 종류의 연산을 지원함
    • 합집합(Union): 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
    • 찾기(Find): 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
  • 서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union FInd) 자료구조라고 불리기도 함
  • 여러 개의 합집합(Union) 연산이 주어졌을 때의 동작과정

    1. 합집합(Union) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인함

       a. A와 B의 루트 노드 A’, B’를 각각 찾음

       b. A’를 B’의 부모 노드로 설정함

    2. 모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복함

• 서로소 집합 자료구조의 동작 과정

  

• 서로소 집합 자료구조에서는 연결성을 통해 손쉽게 집합의 형태를 확인할 수 있음

  

• 기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없음

  • 루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 함

• 노드3의 루트를 찾기 위해서는 노드2를 거쳐 노드1에 접근해야함

  

• 코드

  # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
  def find_parent(parent, x):
      # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
      if parent[x] != x:
          return find_parent(parent, parent[x])
      return x
  
  # 두 원소가 속한 집합을 합치기
  def union_parent(parent, a, b):
      a = find_parent(parent, a)
      b = find_parent(parent, b)
      if a < b:
          parent[b] = a
      else:
          parent[a] = b
  
  # 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
  v, e = map(int, input().split())
  parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
  
  # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
  for i in range(1, v + 1):
      parent[i] = i
  
  # Union 연산을 각각 수행
  for i in range(e):
      a, b = map(int, input().split())
      union_parent(parent, a, b)
  
  # 각 원소가 속한 집합 출력하기
  print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
  for i in range(1, v + 1):
      print(find_parent(parent, i), end=' ')
  
  print()
  
  # 부모 테이블 내용 출력하기
  print('부모 테이블: ', end='')
  for i in range(1, v + 1):
      print(parent[i], end=' ')

• 기본적인 구현 방법의 문제점

  • 합집합(Union) 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기(Find)함수가 비효율적으로 동작함

  • 최악의 경우에 찾기(Find) 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간복잡도가 O(V)임

    

    • 5번 노드의 루트노드를 찾기 위해 Union(4,5), Union(3,4), Union(2,3), Union(1,2)를 모두 시행해야함 → 매우 비효율적

• 서로소 집합 자료구조: 경로 압축

  • 찾기(Find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용

    • 찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신함

      # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
      def find_parent(parent, x):
      	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
      	if parent[x] != x:
      		parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
      	return parent[x]
      

  • 경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 찾기(Find) 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 됨
  • 동일한 예시에 대해서 모든 합집합(Union) 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 찾기(Find) 함수를 수행하면 다음과 같이 부모 테이블이 갱신됨
  • 기본적인 방법에 비하여 시간 복잡도 개선
  • 코드

    # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
    def find_parent(parent, x):
        # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
        if parent[x] != x:
            parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
        return parent[x]
    
    # 두 원소가 속한 집합을 합치기
    def union_parent(parent, a, b):
        a = find_parent(parent, a)
        b = find_parent(parent, b)
        if a < b:
            parent[b] = a
        else:
            parent[a] = b
    
    # 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
    v, e = map(int, input().split())
    parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
    
    # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
    for i in range(1, v + 1):
        parent[i] = i
    
    # Union 연산을 각각 수행
    for i in range(e):
        a, b = map(int, input().split())
        union_parent(parent, a, b)
    
    # 각 원소가 속한 집합 출력하기
    print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
    for i in range(1, v + 1):
        print(find_parent(parent, i), end=' ')
    
    print()
    
    # 부모 테이블 내용 출력하기
    print('부모 테이블: ', end='')
    for i in range(1, v + 1):
        print(parent[i], end=' ')

• 서로소 집합을 활용한 사이클 판별 알고리즘

  • 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있음

    • 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용해 판별할 수 있음

  • 사이클 판별 알고리즘

    1. 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인 (Find 함수)

       a. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합(Union) 연산을 수행함

       b. 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것

    2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복함

  • 동작 과정

    • [초기 단계] 모든 노드에 대하여 자기 자신을 부모로 설정하는 형태로 부모 테이블을 초기화함
    • [Step 1] 간선 (1, 2)을 확인함, 노드 1과 노드 2의 루트 노드는 각각 1과 2임, 따라서 더 큰 번호에 해당하는 노드 2의 부모 노드를 1로 변경함
    • [Step 2] 간선 (1, 3)을 확인함, 노드 1과 노드 3의 루트 노드는 각각 1과 3임, 따라서 더 큰 번호에 해당하는 노드 3의 부모 노드를 1로 변경함
    • [Step 3] 간선 (2, 3)을 확인함, 이미 노드 2과 노드 3의 루트 노드는 모두 1임, 따라서 사이클이 발생한다는 것을 알 수 있음

  • 코드

    # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
    def find_parent(parent, x):
        # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
        if parent[x] != x:
            parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
        return parent[x]
    
    # 두 원소가 속한 집합을 합치기
    def union_parent(parent, a, b):
        a = find_parent(parent, a)
        b = find_parent(parent, b)
        if a < b:
            parent[b] = a
        else:
            parent[a] = b
    
    # 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
    v, e = map(int, input().split())
    parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
    
    # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
    for i in range(1, v + 1):
        parent[i] = i
    
    cycle = False # 사이클 발생 여부
    
    for i in range(e):
        a, b = map(int, input().split())
        # 사이클이 발생한 경우 종료
        if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
            cycle = True
            break
        # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
        else:
            union_parent(parent, a, b)
    
    if cycle:
        print("사이클이 발생했습니다.")
    else:
        print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

참고: 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬 (취업과 이직을 결정하는 알고리즘 인터뷰 완벽 가이드), 유튜브 강의 영상