[코딩 테스트] - 크루스칼 알고리즘

크루스칼 알고리즘

• 신장 트리 (Spanning Tree)
  • 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프
  • 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는 다는 조건은 트리의 조건이기도 함
• 최소 신장 트리
  • 최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리를 찾아야할 때
  • ex) N개의 도시가 존재할 때 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우
    • 두 도시 A, B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치함
• 크루스칼 알고리즘
  • 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘
  • 그리디 알고리즘으로 분류됨
  • 동작 과정
  1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬함
  2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인함
     a. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킴
     b. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않음
  3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복함

• 알고리즘 수행 결과
  • 최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용에 해당함
• 코드

  # 특정 원소가 속한 집합을 찾기
  def find_parent(parent, x):
      # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
      if parent[x] != x:
          parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
      return parent[x]
  
  # 두 원소가 속한 집합을 합치기
  def union_parent(parent, a, b):
      a = find_parent(parent, a)
      b = find_parent(parent, b)
      if a < b:
          parent[b] = a
      else:
          parent[a] = b
  
  # 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
  v, e = map(int, input().split())
  parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
  
  # 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
  edges = []
  result = 0
  
  # 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
  for i in range(1, v + 1):
      parent[i] = i
  
  # 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
  for _ in range(e):
      a, b, cost = map(int, input().split())
      # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
      edges.append((cost, a, b))
  
  # 간선을 비용순으로 정렬
  edges.sort()
  
  # 간선을 하나씩 확인하며
  for edge in edges:
      cost, a, b = edge
      # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
      if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
          union_parent(parent, a, b)
          result += cost
  
  print(result)

• 크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도
  • 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가짐
  • 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선을 정렬하는 부분
  • 표준 라이브러리를 이용해 E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간복잡도는 O(ElogE)

참고: 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬 (취업과 이직을 결정하는 알고리즘 인터뷰 완벽 가이드), 유튜브 강의 영상