[코딩 테스트] - 위상 정렬

위상 정렬

• 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것

• ex) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

  

  • 위 세 과목을 듣기 위한 적절한 학습 순서는?

    → 자료구조 → 알고리즘 → 고급 알고리즘 (O)

    → 자료구조 → 고급 알고리즘 → 알고리즘 (X)
    

• 진입차수와 진출차수

  • 진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수

  • 진출차수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

    

• 큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정

  1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣음
  2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복함
     a. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거
     b. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣음

  → 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같음
  

• 위상 정렬을 수행할 그래프는 사이클이 없는 방향 그래프(DAG)여야 함

  

  • [초기 단계] 초기 단계에서는 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣음
    • 처음에 노드 1이 큐에 삽입됨
  • [Step 1] 큐에서 노드 1을 꺼낸 뒤에 노드 1에서 나가는 간선을 제거함
    • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입함
  • [Step 2] 큐에서 노드 2를 꺼낸 뒤에 노드 2에서 나가는 간선을 제거함
    • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입함
  • [Step 3] 큐에서 노드 5를 꺼낸 뒤에 노드 5에서 나가는 간선을 제거함
    • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입함
  • [Step 4] 큐에서 노드 5를 꺼낸 뒤에 노드 5에서 나가는 간선을 제거함
    • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드가 없으므로 그냥 넘어감
  • [Step 5] 큐에서 노드 6을 꺼낸 뒤에 노드 6에서 나가는 간선을 제거함
    • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입함
  • [Step 6] 큐에서 노드 4를 꺼낸 뒤에 노드 4에서 나가는 간선을 제거함
    • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 삽입함
  • [Step 7] 큐에서 노드 7을 꺼낸 뒤에 노드 7에서 나가는 간선을 제거함
    • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드가 없으므로 그냥 넘어감
  • [위상 정렬 결과]
    • 큐에 삽입된 전체 노드 순서: 1 → 2 → 5 → 3 → 6 → 4→ 7

• 위상 정렬의 특징

  • DAG(Direct Acyclic Graph, 순환하지 않는 방향그래프)에 대해서만 수행할 수 있음
  • 여러 가지 답이 존재할 수 있음
    • 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재함
  • 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있음
    • 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못함
  • 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상정렬을 수행할 수도 있음

• 코드

  from collections import deque
  
  # 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
  v, e = map(int, input().split())
  # 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
  indegree = [0] * (v + 1)
  # 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
  graph = [[] for i in range(v + 1)]
  
  # 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
  for _ in range(e):
      a, b = map(int, input().split())
      graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
      # 진입 차수를 1 증가
      indegree[b] += 1
  
  # 위상 정렬 함수
  def topology_sort():
      result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
      q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
  
      # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
      for i in range(1, v + 1):
          if indegree[i] == 0:
              q.append(i)
  
      # 큐가 빌 때까지 반복
      while q:
          # 큐에서 원소 꺼내기
          now = q.popleft()
          result.append(now)
          # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
          for i in graph[now]:
              indegree[i] -= 1
              # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
              if indegree[i] == 0:
                  q.append(i)
  
      # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
      for i in result:
          print(i, end=' ')
  
  topology_sort()

• 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도

  • 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야 하므로 시간 복잡도는 O(V+E)

참고: 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬 (취업과 이직을 결정하는 알고리즘 인터뷰 완벽 가이드), 유튜브 강의 영상