Controllability

Jeongsu Ahn·2025년 7월 23일

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Reference: Prof Steve Brunton, Control Bootcamp
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Controllability (제어가능성)

Controllability는 시스템이 제어 가능한지 판별하는 지표이다.

다음과 같이 제어입력이 존재하는 선형 시스템을 가정하자:

\dot{x} = Ax + Bu

y = Cx

여기서 시스템의 차원은 다음과 같다:

x \in \mathbb{R}^n, \quad u \in \mathbb{R}^q

A \in \mathbb{R}^{n \times n}, \quad B \in \mathbb{R}^{n \times q}

가상의 제어입력(예: 최적제어)이 다음과 같이 설정되었다고 가정하자:

u = -Kx

그러면 제어입력을 대입한 시스템은 다음과 같다:

\dot{x} = (A-BK)x

Case 1: Uncontrollable System

다음과 같은 시스템을 예시로 들어보자:

\begin{bmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u

이 시스템에서는 제어입력 $u$ 가 $x_2$ 에만 영향을 주므로 $x_1$ 을 직접 제어할 수 없다. 따라서 이 시스템은 Uncontrollable이다.

Case 2: Controllable System (추가 입력)

만약 다음과 같이 추가적인 제어입력이 있다면:

\begin{bmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix}

이제 $x_1$ 과 $x_2$ 모두를 독립적으로 제어할 수 있으므로 전체 시스템은 Controllable하다.

Case 3: Controllable System (상태 결합)

혹은 다음과 같이 $x_1$ 과 $x_2$ 가 결합되어 있다면:

\begin{bmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u

이 경우 $u$ 가 $x_2$ 에 영향을 주고, $x_2$ 가 $x_1$ 에 결합되어 있으므로 간접적으로 $x_1$ 도 제어 가능하다.

이론적으로 제어 가능성을 판별하는 방법은 다음과 같다.

제어가능성 행렬(Controllability Matrix)을 구성한다:

\mathcal{C} = [B \quad AB \quad A^2B \quad \cdots \quad A^{n-1}B]

판별 조건:

\text{if } \text{rank}(\mathcal{C}) = n \Rightarrow \text{Controllable}

\text{else } \Rightarrow \text{Noncontrollable}

결론: 시스템이 제어가능하려면 제어가능성 행렬 $\mathcal{C}$ 의 rank가 시스템의 차원 $n$ 과 같아야 한다.

될 때까지 하는 사람